Тригонометрия на ИТМО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вася написал на доске три числа: 
и 
в каком-то порядке. Все числа оказались различными. Петя пытается определить,
какое из чисел где. Какое из трёх утверждений верно:
(1) У Пети всегда получится определить, где 
где 
а где 
(2) При некоторых значениях получится, а при некоторых нет.
(3) Никогда не получится.
Источники:
Подсказка 1.
Интуитивно можем догадаться, что всё-таки при некотором наборе можно будет однозначно определить, какое число где, а при некотором не получится.
Подсказка 2.
Это верно для x₁ = π/2, x₂ = -π/2. Теперь наша цель найти такой набор, который получится однозначно определить. Возьмем x₀ = π/17. Тогда (sin(x₀), sin(2*x₀), sin(3*x₀)) = (sin(π/17), sin(2*π/17), sin(3*π/17))
Подсказка 3.
Например, при x = 2*π/17 + 2πk: sin(x) = sin(2*x0). Но sin(2*x) = sin(4π/17), что явно больше, чем sin(π/17) и sin(3*π/17). Получается, что при таком x получается другой набор синусов. Попробуйте доказать, что в каждом из остальных случаев также будет получаться другой набор синусов.
Если 
то их синусы различны и положительны.
Пусть найдётся 
для которого эти три синуса получаются такими же, но в другом порядке. Разберём случаи возможных 
когда
совпадает с одним из написанных на доске чисел:
1) 
Синусы получаются такие же, как и для 
в том же порядке.
2) 
В этом случае 
и 
получаются такие же, как и для 
в том же порядке, а 
меняет знак, т.е.
получается другой набор чисел.
3) 
В этом случае 
Однако 
что не совпадает ни с 
ни с 
так как
больше каждого из них.
4) 
В этом случае 
Однако 
что не совпадает ни с 
ни с 
так как
отрицательно.
5) 
В этом случае 
Однако 
что не совпадает ни с 
ни с 
так как
больше каждого из них.
6) 
В этом случае 
Однако 
что не совпадает ни с 
ни с 
так как
отрицательно.
Таким образом, единственная возможность получить те же 3 синуса, это случай 1), в котором порядок синусов также совпадает.
Теперь приведём противоположный пример: рассмотрим 
Тогда 
С другой стороны, пусть
Тогда 
Таким образом, Петя не сможет отличить эти две ситуации друг от
друга.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
