Тема Иннополис (Innopolis Open)

Системы на Иннополисе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95205

Дана система уравнений, описывающая положение и ориентацию исполнительного механизма робота на плоскости вида

(| x= a⋅cos(ϕ )+b⋅cos(ϕ + ϕ )+c ⋅cos(ϕ +ϕ + ϕ ) { y = a⋅sin(ϕ1)+b⋅sin(ϕ1+ ϕ2)+ c⋅sin(ϕ1+ ϕ2+ϕ 3) |( 1 1 2 1 2 3 γ = ϕ1+ ϕ2+ϕ3

Найдите конфигурацию ( $ϕ1,ϕ2,ϕ3$ ) для заданного положения и ориентации $(x,y,γ)$ , а также известных $a,b,c$ . При каких $a,b,c$ задача имеет решение?

Источники: Иннополис - 2021, 11.4 (см. dovuz.innopolis.university)

Показать ответ и решение

$PIC$

Изобразим на координатной плоскости трехзвенный манипулятор (звенья длин $|a|,|b|,|c|)$ , первое звено $AB$ которого — отрезок с началом в $A(0,0)$ , а третье — отрезок с концом $D(x,y)$ . Тогда $ϕ1$ — угол, образованный первым звеном и осью $x,ϕ2$ и $ϕ3$ — углы соответственно между первым и вторым, и вторым и третьим звеньями манипулятора, а $γ$ — угол между направленным третьим звеном и положительным направлением оси $x.$

Изобразим окружности $ωA$ и $ωD$ с центрами в точках $A$ и $D$ и радиусами $|a|$ и $|c|$ соответственно. Вектор $−C−→D$ (третье звено манигулятора) образует известный угол $γ$ — таким образом, точка $C$ имеет координаты $(x− c⋅cosγ;y− c⋅sinγ)$ . Изобразим окружность $ωC$ с центром в точке $C$ и радиусом $|b|.$

$PIC$

Количество общих точек окружностей $ωA$ и $ωC$ равно количеству решений задачи. Задача не имеет решений, если треугольника (пусть и вырожденного) со сторонами $|AC |,|a|,|b|$ не существует.