Рассмотрим нарисованные окружности как плоский мультиграф (граф с кратными ребрами между вершинами): вершины – точки пересечений, ребра – дуги нарисованных окружностей, ограниченные точками пересечений. В такой интерпретации круглосторонники — это все грани этого графа, кроме «внешней» (т.е. части плоскости, лежащей вне всех окружностей).

Пусть нарисованы ровно $m$ окружностей. Согласно формуле Эйлера для плоских графов,

V − E +F = 2,

где $V$ — число вершин графа, $E$ — число ребер, а $F$ — – число граней (включая внешнюю).

Так как каждая пара окружностей пересекается ровно в двух своих уникальных точках, то число вершин

m-(m-−-1) V = 2⋅ 2 = m(m− 1)

Так как каждая вершина – это точка пересечения ровно двух окружностей, то наш граф является регулярным степени $4$ (то есть в каждую вершину входят ровно $4$ ребра). Поскольку каждое ребро соединяет две вершины, общее число ребер

4V E = -2-= 2V = 2m(m− 1)

Следовательно число граней нашего плоского мультиграфа должно быть равно

F = 2+ E− V =2+ 2m(m − 1)− m(m − 1)= 2+ m(m − 1)

Значит, число круглосторонников

C =F − 1⇒ C =1+ m (m − 1)

Найти наименьшее $m,$ такое, что $C ≥ 2023$ — значит найти наименьшее натуральное решение неравенства

2 m − m − 2022≥ 0

Решив, получаем, что наименьшее $m$ равно $46,$ соответственно $C =1 +46⋅45= 2071.$

Теперь заметим, что для любого $m ≥ 1$ (в том числе для $m = 46)$ можно расположить $m$ окружностей на плоскости так, что каждая пара пересекается ровно в двух своих уникальных точках. Действительно, нарисуем произвольную окружность $B$ на плоскости и выберем произвольную точку $O$ внутри нее (но не являющуюся ее центром), а потом рассмотрим $m$ окружностей $Bk,$ где $0≤ k≤ (m− 1),$ которые получаются в результате поворота окружности $B$ вокруг точки $O$ на угол $2πk m$ (окружность $B0$ совпадает с $B).$ На рисунке приведен пример для $m =4.$

Теперь докажем, что обязательно найдется круглосторонник, ограниченный менее чем $4-мя$ дугами. Предположим, что все круглосторонники ограничены не менее чем $4$ дугами. Тогда общее число «сторон» (дуг, ограничивающих круглосторонники) не меньше, чем $4C = 4(1+ m(m − 1)).$ Пусть $K$ — число границ внешней грани плоского мультиграфа, тогда

K + 4C = K +4+ 4m(m − 1)≤ 2m(m− 1)⇔ K +4 +2m (m − 2)≤ 0

Это невозможно, — следовательно, неверно предположение, что все круглосторонники ограничены не менее чем $4$ дугами. Поэтому обязательно найдется круглосторонник, ограниченный менее чем $4$ дугами, что и требовалось доказать.

Формула Эйлера для графов и многогранников