Алгебраические текстовые задачи на КФУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Любочка: “Вы сказали, что квадратное уравнение, заданное на дом, имеет не только целые ненулевые коэффициенты, но и два целых корня, а у меня получается, что корней вообще нет”.
Учитель: “Перед 
был написан коэффициент, а ты его пропустила, записывая задание в тетрадь”.
Можно ли утверждать, что Любочка может однозначно исправить свою описку на основе этой информации?
Источники:
Подсказка 1
Предположим, что верное задание имеет вид ax² + bx + c = 0. Можно ли подобрать b и c так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении a?
Подсказка 2
Задействуем теорему Виета. Тогда b = -a(x₁ + x₂) и c = ax₁x₂. Что получится, если разделить одно уравнение на другое?
Подсказка 3
Верно! Теперь у нас стоит задача найти две пары целых x₁ и x₂, у которых суммы обратных величин совпадают и равны -b/c, а также уравнение x² + bx + c = 0 не имеет решений. А можно ли еще добыть информацию про a?
Подсказка 4
Представим ax² + bx + c = (x² + bx + c) + (1-a)x². Левая часть равна нулю, а в правой части первое слагаемое положительно, потому что не имеет нулей. Тогда второе слагаемое отрицательно, что возможно только при целом a < 0. А каков знак c?
Подсказка 5
Верно! c > 0, так как уравнение x² + bx + c = 0 не имеет корней. Тогда, поскольку c > 0 и a < 0, то корни x₁ и x₂ имеют разный знак. Имея такую, достаточно полную информацию, нужно придумать пример!
Любочка могла записать уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами
которое не имеет корней, поскольку 
При этом можно как дописать старший коэффициент -2:
так и дописать коэффициент -6:
причём в обеих случаях получатся подходящие заданные учителем уравнения. Поэтому однозначно восстановить начальное уравнение Любочка уже не может.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Покажем, как можно составлять такие примеры, хотя это необязательно прописывать в решении на олимпиаде.
Пусть верное задание имело вид 
. Попробуем подобрать 
и 
так, чтобы полученное уравнение имело целые корни
более, чем при одном значении 
.
По теореме Виета 
. Исключим неизвестное 
из этой системы, поделив первое уравнение на второе. Это
можно сделать, так как 
не равно 0 . Получаем равенство
Значит, надо подобрать две пары целых чисел ( 
), для которых суммы обратных величин совпадают.
При этом надо учесть, что уравнение 
не имеет корней. Это значит, что все значения левой части положительны и, в
частности, значение при 
: 
.
Имеем
При 
или 
эта сумма равна нулю, в то время как первое слагаемое положительно. Значит, 
. В силу того, что 
целое, а уравнение — квадратное, 
. Итак, с должно быть положительным, при этом 
— отрицательным. Из соотношения 
следует, что корни имеют разный знак.
Например,
Подставляя пары корней 
и 
в теорему Виета, получим, что
Следовательно,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
