Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

Алгебраические текстовые задачи на КФУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103996Максимум баллов за задание: 7

Любочка: “Вы сказали, что квадратное уравнение, заданное на дом, имеет не только целые ненулевые коэффициенты, но и два целых корня, а у меня получается, что корней вообще нет”.

Учитель: “Перед $2 x$ был написан коэффициент, а ты его пропустила, записывая задание в тетрадь”.

Можно ли утверждать, что Любочка может однозначно исправить свою описку на основе этой информации?

Источники: КФУ - 2025, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что верное задание имеет вид ax² + bx + c = 0. Можно ли подобрать b и c так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении a?

Подсказка 2

Задействуем теорему Виета. Тогда b = -a(x₁ + x₂) и c = ax₁x₂. Что получится, если разделить одно уравнение на другое?

Подсказка 3

Верно! Теперь у нас стоит задача найти две пары целых x₁ и x₂, у которых суммы обратных величин совпадают и равны -b/c, а также уравнение x² + bx + c = 0 не имеет решений. А можно ли еще добыть информацию про a?

Подсказка 4

Представим ax² + bx + c = (x² + bx + c) + (1-a)x². Левая часть равна нулю, а в правой части первое слагаемое положительно, потому что не имеет нулей. Тогда второе слагаемое отрицательно, что возможно только при целом a < 0. А каков знак c?

Подсказка 5

Верно! c > 0, так как уравнение x² + bx + c = 0 не имеет корней. Тогда, поскольку c > 0 и a < 0, то корни x₁ и x₂ имеют разный знак. Имея такую, достаточно полную информацию, нужно придумать пример!

Показать ответ и решение

Любочка могла записать уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами

2 x + 6x+ 36 =0,

которое не имеет корней, поскольку $x2+ 2⋅x⋅3+ 32 +27= (x+3)2+ 27 >0.$

При этом можно как дописать старший коэффициент -2:

2 − 2x + 6x+ 36= 0 ⇐ ⇒ x =− 3 или x =6,

так и дописать коэффициент -6:

− 6x2+ 6x+ 36= 0 ⇐ ⇒ x =3 или x= −2,

причём в обеих случаях получатся подходящие заданные учителем уравнения. Поэтому однозначно восстановить начальное уравнение Любочка уже не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Покажем, как можно составлять такие примеры, хотя это необязательно прописывать в решении на олимпиаде.

Пусть верное задание имело вид $ax2+ bx +c= 0$ . Попробуем подобрать $b$ и $c$ так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении $a$ .

По теореме Виета $b= −a (x1+ x2);c= ax1x2$ . Исключим неизвестное $a$ из этой системы, поделив первое уравнение на второе. Это можно сделать, так как $c$ не равно 0 . Получаем равенство

b 1- 1- −c = x2 + x1.

Значит, надо подобрать две пары целых чисел ( $x1;x2$ ), для которых суммы обратных величин совпадают.

При этом надо учесть, что уравнение $2 x + bx +c= 0$ не имеет корней. Это значит, что все значения левой части положительны и, в частности, значение при $x= 0$ : $c >0$ .

Имеем

( ) ax2+bx+ c= x2 +bx+ c +(a− 1)x2.

При $x= x1$ или $x= x2$ эта сумма равна нулю, в то время как первое слагаемое положительно. Значит, $a< 1$ . В силу того, что $a$ целое, а уравнение — квадратное, $a< 0$ . Итак, с должно быть положительным, при этом $a$ — отрицательным. Из соотношения $c= ax1x2$ следует, что корни имеют разный знак.

Например,

12 + −13-= 13 + −16-= 16.

Подставляя пары корней $(2;−3)$ и $(3;−6)$ в теорему Виета, получим, что

b= −a1⋅(− 1)=− a2 ⋅(−3);c =a1⋅(−6)= a2 ⋅(−18).

Следовательно,

b=a1 = 3a2,c =−6b.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#129307Максимум баллов за задание: 7

В корзине лежат яблоки и мандарины, причем яблоки составляют менее $92%$ всех фруктов. Любочка добавляет в корзину фрукты по одному, так что в какой-то момент доля яблок становится больше $92%.$ Обязательно ли был момент, когда доля яблок была в точности равна $92%?$

Источники: КФУ - 2025, 10.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

От чего по сути зависит доля яблок? Логичным будет ввести соответствующие переменные и записать условие задачи в виде парочки неравенств. Есть ли у такой системы целые решения?

Подсказка 2

Запишем неравенствами: знаменатель, составляющий количество фруктов, тут явно положительный, поэтому можем смело всё на него всё умножить! Что остаётся в итоге? Попробуйте зажать какую-то величину между двумя другими.

Подсказка 3

С учётом того, что все количества целые, мы получаем однозначную связь между количеством яблок и общим числом фруктов в корзине. Осталось лишь подобрать целое решения для уравнения с двумя переменными, и задача решена!

Показать ответ и решение

Запишем проценты в виде обыкновенной дроби, $92% = 23. 25$ Пусть в некоторый момент в корзине лежит $n$ фруктов, причем доля яблок меньше, чем $23 25,$ а после добавления одного фрукта их стало больше, чем $23- 25.$ Ясно, что в этот момент добавили яблоко (пусть их было $k,$ тогда стало $k +1).$ Имеем

k 23 k+1 23 n < 25, n-+1 > 25

{ 25k <23n 25k +25> 23n+ 23

Соотношения принимают вид:

23n− 2< 25k <23n

25k= 23n− 1

Осталось подобрать $n$ так, чтобы $23n− 1$ делилось на $25.$ Перебором получаем, что подходит $n =12,$ $k= 11.$

Проверим: Пусть в какой-то момент в корзине 11 яблок и 1 мандарин, доля яблок $1112-≈ 0,917 <92%.$ Добавим 1 яблоко, получим 12 яблок из 13 фруктов, доля равна $12-≈ 0,923 >92%. 13$

Заметим, что подходящее $n$ не обязательно искать перебором. Имеем соотношение

23n− 25k= 1

23(n− k)= 2k +1

Значит, $2k +1$ — нечетное число, делящееся на $23.$ Например, возьмём $2k +1 =23,$ тогда $k = 11,$ $n − k= 1,$ т.е. $n= 12.$ Это минимальное решение.

Ответ:

Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68962Максимум баллов за задание: 7

У Маши есть копилка, куда она каждую неделю кладет купюру в 50 или 100 рублей. В конце каждых 4 недель она выбирает из копилки купюру наименьшего достоинства и дарит сестренке. Через год оказалось, что сестренке она отдала 1250 рублей. Какое минимальное количество денег могло накопиться за это время у нее самой?

Источники: КФУ-2023, 11.1 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте посчитаем, сколько раз за год Маша будет дарить купюры сестре?

Подсказка 2

Верно, 13 раз! А теперь вспомним, что суммарно она подарила 1250 рублей, при том, что каждый раз она дарила либо 100, либо 50 рублей! Тогда, сколько раз она подарила сестре 50 рублей?

Подсказка 3

Верно, она подарила 50 рублей ровно один раз! А в какой временной период это могло произойти, учитывая, что нам нужно минимизировать сумму в копилке?

Подсказка 4

Да, чтобы сумма была минимальна, она должна была отдать 50 рублей в последний — 13-ый раз! Тогда, какая минимальная сумма может остаться у неё в копилке?

Показать ответ и решение

Назовем 4-недельный промежуток “месяцем”, таких “месяцев” в году $13$ . Если бы все подаренные Машей купюры были сторублевыми, сестра получила бы $1300$ рублей. Значит, Маша двенадцать раз дарила по $100$ рублей и один — 50. Если в какой-то “месяц” Маша отдала $100$ р., значит, и в копилке у неё были только сотни. То есть за эти $12$ “месяцев” она оставила себе $12⋅300= 3600$ р.

Итак $50$ -рублевки могли появиться у Маши только в один месяц из $13$ . Если за “месяц” в копилку попала только одна, она ее подарила в конце месяца, так что ее "доход"был по-прежнему $300$ р.

Если в какой-то “месяц” Маша откладывает не менее двух $50$ -рублевых купюр, она отдает их сестре в течение последовательных “месяцев”, что противоречит условию. Исключение - случай, когда они все пришли в $13$ -м “месяце”, тогда она не успеет их отдать. Итак, в этом случае первые $12$ “месяцев” Маша получала по $300$ рублей, а в последний могла положить в копилку от нуля до трех $50$ -рублевых купюр, то есть недобрать до $300$ рублей максимум $150$ р.

Ответ: 3750 рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#115104Максимум баллов за задание: 7

Провод длиной $d$ метров разрезали на два куска. Можно ли из образовавшихся двух частей провода вырезать куски длиной $1,2,3,6$ и $12$ метров, если

а) $d= 25;$

б) $d= 24,99?$

Источники: КФУ - 2020, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт (а)

Один из двух кусков не короче 12,5 метров. Кусок какой длины можно от него отпилить?

Подсказка 2, пункт (а)

Верно! Кусок длины 12 метров. Тогда остается еще 2 куска, с суммарной длиной 13 метров (12 метров уже отложили). А можно ли теперь из этих двух кусков подобным образом отпилить нужные куски?

Подсказка 1, пункт (б)

Попробуем доказать, что это невозможно. Для этого нужно показать, что можно изначально разрезать провод на два куска так, чтобы вырезать нужные куски было невозможно. Какие длины могли бы иметь эти куски?

Подсказка 2, пункт (б)

Можно ли сделать так, чтобы из одного из исходных кусков нельзя было отрезать ни одного требуемого куска провода?

Подсказка 3, пункт (б)

Можно! Достаточно сделать так, чтобы его длина была меньше 1 метра. Тогда нужные куски будут вырезаться только из второго куска. А как сделать так, чтобы из второго куска их точно нельзя было вырезать?

Подсказка 4, пункт (б)

Верно! Нужно сделать так, чтобы суммарная длина требуемых кусков была больше второго куска исходного провода. Как этого добиться?

Показать ответ и решение

a) Нужные куски всегда можно получить, например, так. Выберем из образовавшихся частей ту, которая не короче другой (и, значит, не короче $12,5$ метров), вырезаем из неё $12$ -метровый кусок. У нас останется две части, сумма длин которых равна $13$ м. По крайней мере одна из этих частей будет не короче $6,5;$ вырезаем $6$ -метровый кусок и так далее. Оставаться будут пары частей с суммами длин $7$ м, $4$ м и $2$ м, а вырезаться куски длиной $3$ м, $2$ м и $1$ м соответственно.

б) Если провод длиной $l= 24,99$ метров разрезали, например, на части с длинами $0,995$ м и $23,995$ м, то получить требуемые куски нельзя. В самом деле, из куска 0,995 м невозможно вырезать ни одного требуемого куска, а из куска $23,995$ м это сделать не получится, поскольку сумма длин $1+2 +3+ 6+ 12= 24$ больше $23,995.$

Ответ:

а) да

б) нет