Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

Алгебраические текстовые задачи на КФУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103996

Любочка: “Вы сказали, что квадратное уравнение, заданное на дом, имеет не только целые ненулевые коэффициенты, но и два целых корня, а у меня получается, что корней вообще нет”.

Учитель: “Перед $2 x$ был написан коэффициент, а ты его пропустила, записывая задание в тетрадь”.

Можно ли утверждать, что Любочка может однозначно исправить свою описку на основе этой информации?

Показать ответ и решение

Любочка могла записать уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами

2 x + 6x+ 36 =0,

которое не имеет корней, поскольку $x2+ 2⋅x⋅3+ 32 +27= (x+3)2+ 27 >0.$

При этом можно как дописать старший коэффициент -2:

2 − 2x + 6x+ 36= 0 ⇐ ⇒ x =− 3 или x =6,

так и дописать коэффициент -6:

− 6x2+ 6x+ 36= 0 ⇐ ⇒ x =3 или x= −2,

причём в обеих случаях получатся подходящие заданные учителем уравнения. Поэтому однозначно восстановить начальное уравнение Любочка уже не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Покажем, как можно составлять такие примеры, хотя это необязательно прописывать в решении на олимпиаде.

Пусть верное задание имело вид $ax2+ bx +c= 0$ . Попробуем подобрать $b$ и $c$ так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении $a$ .

По теореме Виета $b= −a (x1+ x2);c= ax1x2$ . Исключим неизвестное $a$ из этой системы, поделив первое уравнение на второе. Это можно сделать, так как $c$ не равно 0 . Получаем равенство

b 1- 1- −c = x2 + x1.

Значит, надо подобрать две пары целых чисел ( $x1;x2$ ), для которых суммы обратных величин совпадают.

При этом надо учесть, что уравнение $2 x + bx +c= 0$ не имеет корней. Это значит, что все значения левой части положительны и, в частности, значение при $x= 0$ : $c >0$ .

Имеем

( ) ax2+bx+ c= x2 +bx+ c +(a− 1)x2.

При $x= x1$ или $x= x2$ эта сумма равна нулю, в то время как первое слагаемое положительно. Значит, $a< 1$ . В силу того, что $a$ целое, а уравнение — квадратное, $a< 0$ . Итак, с должно быть положительным, при этом $a$ — отрицательным. Из соотношения $c= ax1x2$ следует, что корни имеют разный знак.

Например,

12 + −13-= 13 + −16-= 16.

Подставляя пары корней $(2;−3)$ и $(3;−6)$ в теорему Виета, получим, что

b= −a1⋅(− 1)=− a2 ⋅(−3);c =a1⋅(−6)= a2 ⋅(−18).

Следовательно,

b=a1 = 3a2,c =−6b.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68962

У Маши есть копилка, куда она каждую неделю кладет купюру в 50 или 100 рублей. В конце каждых 4 недель она выбирает из копилки купюру наименьшего достоинства и дарит сестренке. Через год оказалось, что сестренке она отдала 1250 рублей. Какое минимальное количество денег могло накопиться за это время у нее самой?

Источники: КФУ-2023, 11.1 (см. kpfu.ru)

Показать ответ и решение

Назовем 4-недельный промежуток “месяцем”, таких “месяцев” в году $13$ . Если бы все подаренные Машей купюры были сторублевыми, сестра получила бы $1300$ рублей. Значит, Маша двенадцать раз дарила по $100$ рублей и один — 50. Если в какой-то “месяц” Маша отдала $100$ р., значит, и в копилке у неё были только сотни. То есть за эти $12$ “месяцев” она оставила себе $12⋅300= 3600$ р.

Итак $50$ -рублевки могли появиться у Маши только в один месяц из $13$ . Если за “месяц” в копилку попала только одна, она ее подарила в конце месяца, так что ее "доход"был по-прежнему $300$ р.

Если в какой-то “месяц” Маша откладывает не менее двух $50$ -рублевых купюр, она отдает их сестре в течение последовательных “месяцев”, что противоречит условию. Исключение - случай, когда они все пришли в $13$ -м “месяце”, тогда она не успеет их отдать. Итак, в этом случае первые $12$ “месяцев” Маша получала по $300$ рублей, а в последний могла положить в копилку от нуля до трех $50$ -рублевых купюр, то есть недобрать до $300$ рублей максимум $150$ р.

Ответ: 3750 рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#115104

Провод длиной $d$ метров разрезали на два куска. Можно ли из образовавшихся двух частей провода вырезать куски длиной $1,2,3,6$ и $12$ метров, если

а) $d= 25;$

б) $d= 24,99?$

Источники: КФУ - 2020, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

a) Нужные куски всегда можно получить, например, так. Выберем из образовавшихся частей ту, которая не короче другой (и, значит, не короче $12,5$ метров), вырезаем из неё $12$ -метровый кусок. У нас останется две части, сумма длин которых равна $13$ м. По крайней мере одна из этих частей будет не короче $6,5;$ вырезаем $6$ -метровый кусок и так далее. Оставаться будут пары частей с суммами длин $7$ м, $4$ м и $2$ м, а вырезаться куски длиной $3$ м, $2$ м и $1$ м соответственно.

б) Если провод длиной $l= 24,99$ метров разрезали, например, на части с длинами $0,995$ м и $23,995$ м, то получить требуемые куски нельзя. В самом деле, из куска 0,995 м невозможно вырезать ни одного требуемого куска, а из куска $23,995$ м это сделать не получится, поскольку сумма длин $1+2 +3+ 6+ 12= 24$ больше $23,995.$

Ответ:

а) да

б) нет