Стереометрия на КФУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через каждую из сторон равностороннего треугольника 
со стороной 12 проведена плоскость, образующая угол 
с плоскостью
этого треугольника. Эти три плоскости пересекаются в точке 
. Чему может быть равно расстояние от 
до плоскости
треугольника?
Источники:
Подсказка 1
Интересно, где вообще может находиться точка D, в которой все три плоскости пересекаются? Если подумать о симметрии, куда она явно просится?
Подсказка 2
Окей, представим, что D висит прямо над центром треугольника. Теперь подумаем: если опустить из D перпендикуляр на плоскость АВС, получим точку О. А если из О и D провести перпендикуляры к стороне АВ, какой угол там получится? И как это связано с нашими 30°?
Подсказка 3
Хорошо, ОМ — это расстояние от центра до стороны. В равностороннем треугольнике оно легко считается. Но тут есть нюанс: а если О — это не центр вписанной окружности, а центр вневписанной? Как тогда изменится ОМ, и что это даст для h? Попробуйте рассмотреть оба варианта!
Опустим из точки 
перпендикуляр на плоскость 
назовем полученную точку 
Проведем из точек 
и 
перпендикуляры к
по теореме о трех перпендикулярах получим одну и ту же точку 
Обозначим длину искомого отрезка 
за 
Тогда катет 
полученного прямоугольного треугольника 
с углом
равен 
В силу симметрии треугольника 
точка 
равноудалена от прямых 
и 
на расстояние 
значит, 
либо центр
вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника 
Найдем расстояние между стороной 
и центром вписанной окружности 
Так как 
— равносторонний, то высота 
является медианой, значит, 
Следовательно, 
тогда
откуда 
Рассмотрим случай, когда точка 
оказалась центром вневписанной окружности:
Тогда получим равносторонний треугольник 
со стороной 
Найдем длину высоты 
значит,
откуда 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
