Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

Стереометрия на КФУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103997

Через каждую из сторон равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 12 проведена плоскость, образующая угол $30∘$ с плоскостью этого треугольника. Эти три плоскости пересекаются в точке $D$ . Чему может быть равно расстояние от $D$ до плоскости треугольника?

Источники: КФУ - 2025, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интересно, где вообще может находиться точка D, в которой все три плоскости пересекаются? Если подумать о симметрии, куда она явно просится?

Подсказка 2

Окей, представим, что D висит прямо над центром треугольника. Теперь подумаем: если опустить из D перпендикуляр на плоскость АВС, получим точку О. А если из О и D провести перпендикуляры к стороне АВ, какой угол там получится? И как это связано с нашими 30°?

Подсказка 3

Хорошо, ОМ — это расстояние от центра до стороны. В равностороннем треугольнике оно легко считается. Но тут есть нюанс: а если О — это не центр вписанной окружности, а центр вневписанной? Как тогда изменится ОМ, и что это даст для h? Попробуйте рассмотреть оба варианта!

Показать ответ и решение

Опустим из точки $D$ перпендикуляр на плоскость $ABC,$ назовем полученную точку $O.$ Проведем из точек $D$ и $O$ перпендикуляры к $AB,$ по теореме о трех перпендикулярах получим одну и ту же точку $M.$

Обозначим длину искомого отрезка $DO$ за $h.$ Тогда катет $OM$ полученного прямоугольного треугольника $DOM$ с углом $∘ ∠DMO = 30$ равен $√- 3h.$

В силу симметрии треугольника $ABC$ точка $O$ равноудалена от прямых $AB,$ $BC$ и $AC$ на расстояние $√ - 3h,$ значит, $O$ либо центр вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника $ABC.$

Найдем расстояние между стороной $AB$ и центром вписанной окружности $O :$

$PIC$

Так как $ABC$ — равносторонний, то высота $OM$ является медианой, значит, $MB = 6.$ Следовательно, $OM = 6⋅tg30∘ = 2√3,$ тогда $√3h = 2√3,$ откуда $h =2.$

Рассмотрим случай, когда точка $O$ оказалась центром вневписанной окружности:

$PIC$

Тогда получим равносторонний треугольник $ABO$ со стороной $AB = 12.$ Найдем длину высоты $√ - OM = 12⋅cos60∘ = 6 3,$ значит, $√ - √ - 3h = 6 3,$ откуда $h =6.$

Ответ: 2 или 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83857

Коническое (пожарное) ведро было заполнено водой до самого края.

$PIC$

В него положили шар, причем он полностью покрылся водой. Покажите, что при этом из ведра вылилось не более половины бывшей там воды.

Источники: КФУ - 2024, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим доказать, что что-то меньше чего-то, то нам надо взять это что-то максимальным, а после этого доказать, что даже в этом случае выполняется требуемое. Шар у нас лежит не выше уровня воды, при этом, он касается поверхности конуса. В какой ситуации тогда радиус шара будет максимальным(ну а значит и его объем)?

Подсказка 2

Предельное положение - это когда шар вписан в конус. А значит, окружность радиуса такого же как у шара вписана в сечение конуса, которое проходит через диаметр окружности в основании и вершину. Значит, мы можем взять за r - радиус шара, за h - высоту конуса и за R - радиус окружности в основании конуса и тогда картинка однозначно фиксируется и все через все выражается. Сделайте это и поймите связь между r и парой h и R. Чему тогда равно отношение объемов(ведь этого от нас и просят)?

Подсказка 3

Отношение объемов равно, в силу того, что (h - r)/r = sqrt(h^2 + R^2)/r, 4 * (h / r) * (1 - 2 * (h/r)). Мы хотим максимизировать объем, значит, надо взять максимум у этой параболы(у нас же относительно h/r - выражение представляется графически параболой), а она не больше 1/2.

Показать доказательство

Обозначим радиус шара через $r,$ радиус основания конуса через $R,$ а высоту конуса — через $h.$ Тогда объём конуса равен

1 2 V = 3πR ⋅h

Объём шара

4 v = 3πr3

Отношение этих объемов равно

3 v-= 4r2- V R h

Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.

$PIC$

Из подобия прямоугольных треугольников $AF O$ и $AMB$ имеем

h− r √h2-+R2 -r--= ---R----

Возведем равенство в квадрат, получим

( )2 2 2 2 h − 1 = h-+R2--= 1+ h2- r R R

1− 2h + h2 =1 + h2 r r2 R2

h2−-2rh- h2- r2 = R2

h2r2 R2 =h2-− 2rh

Значит, отношение объёмов равно

( ) v-= 4r3-h2−-2rh-= 4r(h−-2r)= 4(t− 2t2)= 4t(1− 2t), V h2r2h h2

где $t= r < 1. h 2$ Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при $t= 1 4$ и составляет

4t(1− 2t) =4⋅ 1 (1− 1) = 1 4 2 2

Заметим, что максимум достигается при $h = 4r;$ при этом

16r4 R2 = 16r2−-8r2-=2r2

l2 = h2+ R2 = 18r2 =9R2

l= 3R

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68990

Многогранник $ABCDA B C D 1 1 1 1$ изображен в ортогональной проекции на плоскость $ABCD.$

$PIC$

Докажите, что такой многогранник невозможен.

Источники: КФУ-2023, 11.4 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас на картинке дополнительно нарисованы точки пересечения A₂, B₂, C₂ и D₂. Что их всех связывает?

Подсказка 2

Они получены как пересечение прямых из плоскости ABCD и прямых из плоскости A₁B₁C₁D₁. Тогда где должны лежать все эти точки?

Подсказка 3

На общей для этих плоскостей прямой! А теперь внимательно смотрим на рисунок)

Показать доказательство

$PIC$

Прямые $AB$ и $A1B1$ пересекаются в точке $A2$ , лежащей в обеих плоскостях, $ABCD$ и $A1B1C1D1$ , то есть на их общей прямой. То же верно для точек $B2,C2,D2$ получающихся как пересечения одноименных рёбер. Значит, все эти точки должны лежать на одной прямой, что не выполняется.

Если зафиксировать, например, точки $B1,C1,D1$ , то можно построить изображение вершины $A1$ (на рисунке это точка $A1)$ , которое не совпадает с изображением точки $A$ на проекции.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96505

Докажите, что в любой момент времени на поверхности Солнца есть точка, которую можно наблюдать не более чем с трех планет из восьми известных.

Показать доказательство

Формализуем планеты и Солнце как сферы, причём радиус сферы Солнца больше любого другого радиуса. Выберем две планеты и проведем через центры этих планет и Солнца плоскость $α$ .

$PIC$

Точки в которых к сфере Солнца проходят касательные плоскости, параллельные $α,$ будем называть полярными. Полярные точки не видны с планет, центры которых находятся в плоскости $α$ , поскольку радиус Солнца больше радиуса любой из планет. Помимо планет, центры которых лежат в плоскости $α$ , осталось не более шести планет, поэтому с одной из сторон от плоскости $α$ лежит не более чем три центра планет.

Полярная точка, расположенная в том полупространстве, где находится не более трех центров планет, видна разве что с этих планет, поэтому она видна не более чем с трех планет.