Планиметрия на ШВБ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне 
треугольника 
отмечена точка 
так, что 
Около треугольника 
описана
окружность. Через точку 
и точку 
лежащую на стороне 
проведена прямая, которая пересекает окружность в точке 
причем
Найдите 
если 
— биссектриса треугольника 
Источники:
Подсказка 1
На картинке у нас есть окружность, а также равные из условия углы. Давайте тогда попробуем записать цепочки равных и вывести из этого что-то полезное.
Подсказка 2
Здорово, оказывется, у нас проведена касательная к окружности, а треугольники AKC и BAC подобны! Воспользуемся этим и условием, чтобы посчитать некоторые отрезки ;) Сейчас наша цель — делать картинку как можно яснее.
Подсказка 3
Таким образом, из подобий и того, что у нас проведена биссектриса, можно посчитать практически все отрезки треугольника ABC. Но как добраться до отрезка, который является частью хорды в окружности? Давайте введём переменные и воспользуемся тем, что знаем об отрезках хорды!
Подсказка 4
AD * DB = PD * DN. А произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной! Отсюда можно найти ответ ;)
Из условия мы знаем, что 
а из вписанного четырёхугольника 
Откуда получаем, следующие
равенства
Значит, отрезок 
является отрезком касательной к окружности. Теперь мы понимаем, что 
подобен 
Запишем
соответствующие отношения сторон и подставим значения из условия:
Так как мы знаем, что 
— биссектриса, то запишем свойство, подставив известные значения
К тому же мы нашли 
поэтому 
Давайте теперь запишем формулу для биссектрисы и вычислим
её:
Пусть 
где 
точка пересечения прямой 
с окружностью, 
Четырехугольник 
вписан в
окружность, откуда из произведения отрезков хорд
По свойствам касательных и секущих к окружности имеем
Теперь осталось только решить систему из полученных уравнений в 
пункте
Откуда 
Решив уравнение, получим 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
