Планиметрия на ШВБ

Заметим сразу, что , то есть треугольник — остроугольный. А значит, и . Поэтому точка лежит снаружи треугольника

Обозначим углы треугольника за По теореме косинусов найдем угол

Проведем . Тогда Поэтому, так как по условию,

Пусть — точка пересечения и . — биссектриса, медиана и высота в равнобедренном треугольнике , поэтому

Тогда из прямоугольного треугольника получаем

По теореме косинусов найдем угол

По формуле половинного угла

По основному тригонометрическому тождеству

И тогда

А из треугольника находим

В итоге

Обозначим

Треугольники и имеют общую высоту из общей вершины следовательно, можем записать следующие соотношения для их площадей

(1)

Пусть — перпендикуляр из к прямой — перпендикуляр из к прямой Так как — биссектриса значит, точка равноудалена от прямых и Следовательно, Благодаря этому получаем

(2)

Из соотношений (1) и (2) следует, что

Аналогично получаем

Тогда

Значит, по теореме Менелая точки лежат на одной прямой. Т.е. и

По теореме косинусов найдём

Теперь найдём

Аналогично получаем и Обозначим Получим значения и из двух теорем косинусов

Запишем теорему косинусов в

Углы и равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в

Следовательно,

пусть пусть — биссектриса треугольника

Точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к диагонали и биссектрисы угла в выпуклом четырехугольнике Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Действительно, опишем окружность около треугольника обозначим точку пересечения биссектрисы угла с окружностью через Тогда по свойству вписанных углов дуги и будут равны, хорды и тоже будут равны, треугольник будет равнобедренным, и серединный перпендикуляр к диагонали и биссектриса угла будут пересекаться в точке Следовательно,

Поскольку около четырехугольника можно описать окружность, то для его диагоналей верно равенство

Треугольник подобен , и , пусть поэтому

По теореме косинусов для треугольников и с учетом имеем

Для равнобедренного треугольника имеем

Из условия мы знаем, что а из вписанного четырёхугольника Откуда получаем, следующие равенства

Значит, отрезок является отрезком касательной к окружности. Теперь мы понимаем, что подобен Запишем соответствующие отношения сторон и подставим значения из условия:

Так как мы знаем, что — биссектриса, то запишем свойство, подставив известные значения

К тому же мы нашли поэтому Давайте теперь запишем формулу для биссектрисы и вычислим её:

Пусть где точка пересечения прямой с окружностью, Четырехугольник вписан в окружность, откуда из произведения отрезков хорд

По свойствам касательных и секущих к окружности имеем

Теперь осталось только решить систему из полученных уравнений в пункте

Откуда Решив уравнение, получим

Четырехугольник — равнобедренная трапеция. Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда:

(как углы равных треугольников и как углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, треугольник подобен треугольнику и треугольник подобен треугольнику по двум углам. Значит,

и учитывая, что , получаем подобие треугольника и треугольника следовательно,

а значит, точки лежат на одной окружности и

Пусть Точка — центр вписанной в треугольник окружности. Тогда

так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Поскольку — центр описанной вокруг окружности, то треугольник равнобедренный. Следовательно,

Треугольники и равнобедренные, и

Поскольку

Так как

то треугольник равнобедренный, а

Пусть Треугольники и подобны по трём углам:

По условию поэтому

Заметим, что

Отрезок является отрезком касательной к окружности. Из подобия треугольников и

— медиана по теореме косинусов для треугольников и имеем

Так как , то при сложении двух уравнений получаем

Пусть — точка пересечения прямой с окружностью, .

Четырехугольник вписан в окружность . По свойствам касательных и секущих к окружности имеем

Решаем систему уравнений

(вписанные углы, опирающиеся на одну дугу);

— диаметр окружности — прямоугольный,

Из подобия треугольников и

По теореме синусов для

— равнобедренный прямоугольный треугольник, ;

— равнобедренный прямоугольный треугольник, ;

— прямоугольный треугольник, так что по теореме Пифагора