Планиметрия на ШВБ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
проведена биссектриса 
Известно, что центры вписанной в треугольник 
и описанной около треугольника
совпадают. Найдите 
если 
Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к
ним.
Подсказка 1
На картинке есть центр вписанной окружности, давайте тогда попробуем посчитать углы! Пусть угол ∠A=α, ∠B=β. Какие углы на картинке можно выразить через них?
Подсказка 2
Посчитайте ∠BAO и ∠ABO. Посмотрите, теперь мы можем выразить один через другой, использовав условие! Быть может, выразим через углы α и β все углы треугольника ABC?
Подсказка 3
α = 2β, то есть в равнобедренном треугольнике у нас один угол в два раза больше другого. Тогда несложно найти их все!
Подсказка 4
Нам нужно найти CD, который по сути является одним из отрезков, на которые делит биссектриса угла противоположную сторону! Каким свойством можно воспользоваться для поиска этого отрезка?
Подсказка 5
Хотелось бы воспользоваться свойством биссектрисы про отношение сторон треугольника! Но перед этим было бы хорошо выразить BD и AC (чтобы уравнение решалось). А что можно сказать про треугольники ABD и ADC? ;)
Пусть 
Точка 
— центр вписанной в треугольник 
окружности. Тогда
так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Поскольку 
— центр описанной вокруг 
окружности, то треугольник
равнобедренный. Следовательно,
Треугольники 
и 
равнобедренные, и
Поскольку 
Так как
то треугольник 
равнобедренный, а 
Пусть 
Треугольники 
и 
подобны по трём углам:
По условию 
поэтому 
2
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
