Стереометрия на ШВБ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На боковых рёбрах 
правильной треугольной пирамиды 
соответственно выбраны точки 
так, что
. Точка 
— центр сферы, описанной около пирамиды 
Докажите, что прямая 
перпендикулярна
плоскости 
Найдите радиус этой сферы и объём пирамиды 
если сторона основания 
боковое ребро
Подсказка 1
Посмотрим на цепочку соотношений из условия, которая равна 3. Почему именно эти отношения влияют на расположение точек A₁, B₁, C₁ на рёбрах пирамиды? Возможно, стоит посмотреть на подобия каких-то треугольников.
Подсказка 2
Иногда можно использовать идею проецирования центра сферы на разные плоскости. Подумайте, почему такая проекция на боковые грани позволяет утверждать, что есть общий перпендикуляр к двум прямым, пересекающимся на плоскости из условия.
Подсказка 3
Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. К какой прямой и плоскости её стоит применить?
Подсказка 4
Применяем теорему о трёх перпендикулярах к TO и пересекающимся B₁C и A₁C в плоскости A₁B₁C и доказываем требуемое. Теперь перейдём ко второй части задачи. Для этого полезно рассмотреть высоту пирамиды и вспомнить, что в основании неё лежит равнобедренный треугольник. Подумайте, какие дополнительные точки (например, на рёбрах пирамиды) могут упростить вычисления.
Подсказка 5
Для нахождения объёма пирамиды может оказаться нужным найти её высоту, введя дополнительный угол и его синус/косинус, установить, каким отношением связаны основания A₁B₁ и AB и использовать тот факт, что T лежит на TO, которая по доказанному перпендикулярна плоскости из условия. Для нахождения радиуса вспоминаем формулу со стороной и синусом противолежащего угла!
1) Докажем, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
Точка 
лежит в плоскости 
, 
— середина 
Спроецируем
точку 
на плоскость 
ее проекция 
центр описанной около треугольника 
окружности. Прямая 
— проекция 
на плоскость 
Докажем, что 
Поскольку 
то 
подобен 
тогда 
Докажем, что
т.е. 
— точка пересечения прямых 
и 
По свойству вписанных углов
имеем:
Пусть 
— диаметр рассматриваемой окружности. Тогда
Таким образом, 
Аналогично доказывается, что проекция 
на плоскость 
перпендикулярна 
Согласно теореме о трех перпендикулярах,
также будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым 
и 
лежащим в плоскости 
следовательно,
2) Обозначим через 
длину стороны основания пирамиды 
Обозначим через 
длину бокового ребра пирамиды
Пусть 
— высота пирамиды 
Тогда 
В основании пирамиды 
лежит
равнобедренный треугольник 
— его высота, 
— середина 
Высота 
пирамиды 
проведенная из вершины 
лежит на прямой 
Для вычисления объема пирамиды 
нужно найти 
и 
На боковом ребре 
отметим точки 
и 
так, что 
Пусть 
Тогда
Значит,
Итак, объем пирамиды 
вычисляется по формуле
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
