Стереометрия на ШВБ

Пусть высота пирамиды

Построение сечения:

• Точки и — середины и
• Точки и — середины и
• Прямая принадлежит плоскости сечения. Найдем точку пересечения этой прямой с
• Точки и лежат в плоскости грани Прямая принадлежит плоскости сечения. Найдем точку пересечения с ребром
• Треугольники и равны,

Из подобия

Точка :

• — пересечение прямых и значит, лежит в плоскости сечения.
• 

Точки и :

• В плоскости трапеции проведем Точка — пересечение с лежит в плоскости сечения.
• Из подобия треугольников
• Из подобия

Точка :

• Прямая пересекает в точке По теореме Менелая:

  

Точка :

• Прямая пересекает в точке По теореме Менелая:

  

Получили сечение, это многоугольник

Площадь сечения:

Проекция сечения: Спроецируем все на плоскость основания, учитывая что отношения в которых делят отрезки точки известны и сохраняются при проекции, то все отрезки с изображения проекции известны. Тогда подсчитаем площадь проекции как:

Угол :

Плоскость сечения и плоскость нижнего основания пересекаются по прямой проходящей через точку и параллельной прямой Если — проекция точки на плоскость нижнего основания, то

Из точки опустим перпендикуляр на прямую Если — высота треугольника, то

Угол равен — углу между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Итоговая площадь:

Пусть расстояние от точки до плоскости сечения обозначим Построим сечение многогранника

Достроим усеченную пирамиду до пирамиды продолжив ребра Пусть точки и — середины и соответственно, и — середины и соответственно. Прямая принадлежит плоскости сечения. Найдем точку пересечения этой прямой с гранью Эта точка лежит на прямой Треугольники и подобны, и

Через точку в плоскости проведем прямую так, что лежит на лежит на Сечением многогранника будет многоугольник Его площадь равна разности площадей трапеций и Высотой трапеции является отрезок а трапеции — отрезок

Обозначим Тогда

Пусть принадлежит Тогда

Значит,

Следовательно,

Отсюда Треугольники и подобны, и

Теперь найдем площади интересующих нас четырехугольников:

В итоге получаем

Пусть — середина ребра а точка - середина отрезка . Рассмотрим плоскость . Так как плоскость сечения параллельна медиане и проходит через точку , построим прямую в плоскости . Тогда - средняя линия в , а середина .

Теперь нам известны три точки сечения: . Рассмотрим основание пирамиды и посмотрим, как прямая пересекает стороны основания. Пусть эта прямая пересекает прямые в точках .

Из теоремы Менелая для треугольника получаем, что

Так как , то .

Далее замечаем, что . Тогда

Откуда .

Из подобия получаем

То есть .

Аналогично из подобия получаем

То есть .

Проведем , где - точка на . Тогда

И . Тогда из теоремы косинусов для треугольника получим .

Пусть - точка, в которой прямая пересекает ребро . Тогда из теоремы Менелая для и прямой получим:

Далее из теоремы Менелая для имеем:

В силу параллельности прямых и имеем , откуда . По теореме косинусов для имеем , то есть . Из теоремы Пифагора для треугольника получаем , откуда . По теореме косинусов для имеем , а значит . По теореме Пифагора для вычислим . Заметим, что для треугольника выполняется теорема Пифагора, то есть угол прямой. С помощью теоремы косинусов для треугольника вычислим . Теперь через теоремы косинусов для треугольников и вычислим длины отрезков . Далее по теореме Герона получаем .

Заметим, что . Значит, .

Построим сечение пирамиды. В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит прямой Тогда будет средней линией треугольника следовательно, где — сторона основания пирамиды.

Плоскость содержит прямые и которые параллельны плоскости сечения, следовательно, по признаку плоскость параллельна плоскости сечения.

Через точку проведем прямую параллельную где принадлежит прямой Т.к. и значит, — параллелограмм, следовательно, Учитывая, что — середина а также можем сказать, что

Пусть — точка пересечения прямых и Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку

Пусть — точка пересечения и Заметим, что углы И равны как вертикальные, а углы и как накрестлежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны, поэтому

Т.к. является правильным шестиугольником, значит, Учитывая, что получаем, что Т.к. и углы и равны, аналогично, т.к. и углы и равны, а также следовательно, треугольники и равны, поэтому

Пусть точка — точка пересечения прямых и а точка — точка пересечения прямых и Из-за того, что — правильный шестиугольник, можно сделать вывод, что Т.к. треугольники и подобны, поэтому

В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит ребру — точка пересечения прямой с ребром параллельны друг другу, поэтому по теореме Фалеса имеем

В плоскости точка — точка пересечения прямых и Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

Искомое сечение - это Для нахождения площади сечения используем формулу

где — площадь проекции сечения на плоскость основания, — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания.

Проекцией является пятиугольник Площадь проекции сечения вычисляется по формуле

Обозначим расстояние от точки до плоскости сечения Т.к. точка принадлежащая плоскости сечения является серединой расстояние от точки до сечения тоже равно В треугольнике проведем высоту обозначим ее длину Тогда

Т.к. — правильный, Тогда найдем по теореме косинусов:

Используя различные формулы для нахождения площади треугольника имеем

Тогда

Окончательно имеем

Поскольку пирамида правильная, то центр указанного шара лежит в плоскости , где — высота пирамиды. Пусть

Обозначим Проведем — точка касания шара плоскости пусть радиус шара

Поскольку то Треугольники и подобны, и или

По условию задачи Тогда

Точка — точка пересечения и тогда Поскольку

Пусть . Тогда Если то Угол между плоскостью и плоскостью основания равен Тогда

Пусть — отрезок перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость основания , и .

Тогда . Если , то

— высота треугольника проведенная из вершины

а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. , где — высота сегмента. , здесь угол — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.

Тогда площадь равна

б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и их центры этих окружностей, — точки пересечения радиусов со сферой. Обозначим — угол между ОЗ и ОВ. Тогда

В правильной пирамиде О плоские углы при вершине равны двугранный угол при ребре О3 равен Опустив перпендикуляры из точек и на ребро О3 в точку H, треугольники О и О равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны а третья

Треугольник — прямоугольный, точка точка симметрична относительно Секущая плоскость проведена через точку расстояние от точки до плоскости

Проведём через точку прямую параллельную такую, что Также отметим точку на такую, что средняя линия и пересекает в точке Тогда видим, продлив до пересечения в точке с прямой, проходящей через паралелльно и лежащей в плоскости что

К тому же

Проведём через точку в плоскости прямую, параллельную и пересекающую в точке Тогда получаем, что

Аналогично, проведя подобные рассуждения в плоскости получаем, что где точка пересечения и Плоскость содержит сечение — треугольник

Для площадей, в силу подобия треугольников, имеем соотношение

Отметим на точку такую, что Тогда

Через проведём прямую и пусть она пересекает прямую, параллельную и проходящую через в точке Тогда по теореме о перпендикулярах откуда

Найдем Поскольку и расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от точки до плоскости Длина отрезка равна высоте треугольника

Имеем Пусть . Тогда

Пусть наблюдатель находится в точке — линия пересечения плоскости горизонта и плоскости орбиты. Спутник проходит над головой наблюдателя.

При движении спутника из точки в точку С по дуге окружности, его проекция на Землю двигается из точки в точку Угловая мера этой дуги равна величине центрального угла. Учитывая симметрию, получим время наблюдения

Угол находим из прямоугольного треугольника

следовательно, мин.

Угол обзора участка Земли с орбиты равен углу или градусов.

1) Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости Точка лежит в плоскости , — середина Спроецируем точку на плоскость ее проекция центр описанной около треугольника окружности. Прямая — проекция на плоскость Докажем, что

Поскольку то подобен тогда Докажем, что т.е. — точка пересечения прямых и По свойству вписанных углов имеем:

Пусть — диаметр рассматриваемой окружности. Тогда

Таким образом,

Аналогично доказывается, что проекция на плоскость перпендикулярна Согласно теореме о трех перпендикулярах, также будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым и лежащим в плоскости следовательно,

2) Обозначим через длину стороны основания пирамиды Обозначим через длину бокового ребра пирамиды Пусть — высота пирамиды Тогда В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник — его высота, — середина Высота пирамиды проведенная из вершины лежит на прямой Для вычисления объема пирамиды нужно найти и

На боковом ребре отметим точки и так, что

Пусть Тогда

Значит,

Итак, объем пирамиды вычисляется по формуле

Обозначим точки пересечения прямых и с перпендикуляром из точки к этим прямым за и соответственно.

Тогда, так как угол и — перпендикуляр к плоскости основания, получаем. что

Аналогично для угла

Так как треугольник прямоугольный с гипотенузой то по теореме Пифагора

Аналогично для треугольника

Пусть тогда

По формуле синуса двойного угла получим

Тогда сторона основания равна

Откуда получаем

Так как то

Проведем так как то откуда получим

Построим перпендикуляр Так как — прямоугольник, то

Из прямоугольного треугольника получаем

Построим — проекция на плоскость угол — искомый угол. тогда

В плоскости основания проводим прямую параллельную , , и прямую параллельную лежит в плоскости сечения. В плоскости основания проводим прямую, соединяющую точку с серединой стороны , точка — точка пересечения этой прямой со стороной . В плоскости основания проводим прямую , параллельную Точка — точка пересечения прямой со стороной Трапеция — искомое сечение.

Найдём площадь проекции сечения на плоскость основания призмы. Обозначим сторону основания через . Тогда . Пусть — проекция точки на основание . Пусть — проекция точки на основание . Поскольку и параллельны, то , и . Проекцией сечения на плоскость основания является трапеция , её площадь

Найдём косинус угла наклона плоскости сечения к плоскости основания призмы. Расстояние от прямой до плоскости сечения равно расстоянию от точки до плоскости сечения, которое, в свою очередь, равно расстоянию от точки до плоскости сечения (так как , принадлежит плоскости сечения).

Построим плоскость проходящую через точку и перпендикулярную линии пересечения основания и плоскости сечения ( и перпендикулярны ). Проведем прямую перпендикулярную , тогда расстояние равно

Угол наклона плоскости сечения к плоскости основания равен углу . Находим:

В треугольнике имеем

Итого по теореме о площади ортогональной проекции