Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема . ШВБ (Шаг в будущее)

Параметры на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела швб (шаг в будущее)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105233

Найдите все значения параметра b, при котором для любого значения параметра a∈[−2;1] неравенство

2 2 2 a +b − sin 2x− 2(a+ b)cos2x− 2>0

не выполняется хотя бы для одного значения x.

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения, связанные с x, являются тригонометрическими функциями, так что полезно сделать замену cos 2x = y. Тогда мы знаем, какие значения принимает y, и при этом избавились от косинусов.

Подсказка 2

У нас получается парабола от y с ветвями вверх. Нас интересует её минимум на отрезке: он будет или на границе отрезка, или в вершине параболы. Это позволяет получить какие-то системы неравенств.

Подсказка 3

Теперь задачу можно изобразить на графике в осях aOb, поскольку у нас как раз 2 параметра. Тогда значения параметров, для которых существует хотя бы один плохой y, лежат внутри пересечения графиков.

Подсказка 4

Нас интересуют такие b, что весь отрезок [-2; 1] будет лежать в области внутри графиков. Осталось подставить крайние значения для a и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть y =cos2x, y ∈ [−1;1]. Тогда:

2 2 2 a + b − sin 2x − 2(a+ b)y− 2> 0

2 2 2 a +b − 1+y − 2(a+b)y− 2> 0

y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2 − 3> 0

Найдем при каких a и b неравенство выполняется для любых y ∈[−1;1]. Рассмотрим функцию

f(x)= y2− 2(a+ b)y +a2+ b2− 3

Ее графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке y0 =− −2(2a⋅+1b)= a+ b. Рассмотрим три случая местоположения вершины относительно отрезка [−1;1]:

{ { { a+ b≤ −1 (1) −1< a+ b< 1 (2) a+ b≥1 (3) f(−1)>0 f(a +b)> 0 f(1)> 0

{ { { a+ b≤− 1 (1) −1 <a +b< 1 (2) a+ b≥ 1 (3) (a +1)2+ (b+ 1)2 > 4 ab< −1,5 (a− 1)2+ (b − 1)2 > 4

На координатной плоскости aOb изобразим множество точек (a,b), удовлетворяющих всем трём условиям. Точки, для которых неравенство не выполняется хотя бы для одного y ∈ [−1;1] , лежат внутри области, ограниченной графиками. Проверим область на замкнутость:

PIC

Точки пересечения графиков (a+1)2+ (b+ 1)2 =4 и a+ b= −1:

(a+ 1)2+ (−1− a+1)2 = 4

2a2+ 2a− 3= 0

⌊ − 1− √7 || a= ---2√-- ⌈ a= −-1+--7 2

Точки пересечения графиков ab= −1,5 и a+ b= −1:

a⋅(− 1− a)= −1,5

2 −a − a + 1,5= 0

⌊ √ - a= −-1−--7 ||⌈ 2√ - a= −-1+--7 2

Аналогично проверяем точки пересечения графиков с a +b= 1. Точки совпадают, значит, область замкнутая.

В итоге, точки, для которых неравенство y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2− 3> 0 не выполняется хотя бы для одного y ∈[−1;1], образуют замкнутую область, граница которой состоит из графиков двух окружностей и гиперболы, граница включается. Для решения задачи необходимо найти такие значения b, при которых точки (a,b) попадают в получившуюся область для любых a∈ [−2,1]. Такие значения b образуют отрезок [b1;b2].

b1 найдем, подставив a= 1 в уравнение гиперболы. b2 найдем, подставив a= −2 в уравнение окружности 2 2 (a+ 1)+ (b+1) = 4. Получаем [ √ - ] −1,5; 3− 1 .

Ответ:

[−1,5;√3− 1]

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!