Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Параметры на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119902

Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств

(| (x2− 4x+5 − a)(x− a+1) |{ --------√9-− x------- >0 ||( logx2−54xa≤ 1

Источники: ШВБ - 2025, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким методом мы пользуемся в параметрах, чтобы избавиться от сложных выражений в логарифмах? Не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Применим метод рационализации!

Подсказка 3

Теперь наша система превратилась в что-то более понятное: появились симпатичные квадратные трёхчлены! Ну уж параболы мы рисовать умеем ;)

Подсказка 4

После того, как мы изобразим на плоскости xOa две параболы и прямую (и исследуем, где же они пересекаются), нам останется лишь вспомнить про ОДЗ и аккуратно разобрать случаи a (это вертикальная ось).

Показать ответ и решение

Учитывая все ОДЗ и применяя метод рационализации, наша система принимает следующий вид:

$pict$

Изобразим решение данной системы на плоскости $Oxa :$

$PIC$

Найдем точку $x< 9$ пересечения прямой $a= x+ 1$ и параболы $2 a= x-−54x.$
Приравняем выражения для $a:$

2 x-−-4x-= x+ 1 5

Умножим обе части на 5:

x2− 4x = 5x +5 ⇒ x2− 9x − 5= 0

Решим квадратное уравнение:

√------ √--- x = 9±--81+20-= 9±--101- 2 2

Учитывая условие $x< 9,$ выбираем меньший корень:

√--- √--- x= 9−--101, a =x +1 = 11−-101 2 2

Найдем корни уравнения $x2− 4x − 5a= 0.$
Преобразуем уравнение:

(x − 2)2 = 5a +4 ⇒ x = 2± √5a+-4 1,2

Найдем корни уравнения $(x − 2)2+ 1− a =0.$
Преобразуем уравнение:

(x− 2)2 =a − 1 ⇒ x1,2 = 2±√a-−-1, a≥ 1

Теперь просто начинаем идти по оси $Oa,$ анализируя решения:

$1)$ При $( √---) a∈ 0;11−2101$ решения лежат в объединении интервалов $x∈[2− √5a+-4;0)∪ (4;2+ √5a+-4]∪(5;9).$

$2)$ При $a∈ [11−-√101;1) 2$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(a− 1;0)∪(4;2+ √5a+4]∪ (5;9).$

$3)$ При $a= 1$ решения лежат в объединении интервалов $x∈ (4;5)∪(5;9).$

$4)$ При $a∈ (1;5]$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(4;5)∪ [2+ √5a+-4;9).$

$5)$ При $a∈ (5;6)$ решения лежат в объединении интервалов $√---- √---- [ √----- ) x ∈(2− a− 1;0)∪ (4;2+ a− 1)∪(a− 1;5)∪ 2+ 5a+ 4;9 .$

$6)$ При $a∈ [6;9)$ решения лежат в объединении интервалов $√---- √ ---- [ √ ----- ) x ∈(2− a− 1;0)∪ (4;2+ a− 1)∪ 2+ 5a+4;9 .$

$7)$ При $a∈ [9;10)$ решения лежат в объединении интервалов $√ ---- √ ---- x∈ (2− a− 1;0)∪(4;2+ a− 1).$

$8)$ При $a∈ [10;+∞ )$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(−1;0)∪ (4;5).$

$9)$ При $a≤ 0$ решений нет.

Ответ:

Ответ — конец решения

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#127231

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ |x− a|+|y− a|+ |a− x+ 1|+|a− y +1|≤ 2 y+2||x2− 2x− 3||= 6

имеет единственное решение.

Источники: ШВБ - 2025, 10.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте заметить похожие выражения в левой части верхнего неравенства.

Подсказка 2

Что можно сказать о |t - a| + |a - t + 1|?

Подсказка 3

Докажите, что данное выражение всегда больше либо равно 1.

Подсказка 4

При каких t достигается равенство?

Подсказка 5

При t ∈ [a; a+1] данное выражение равняется 1. Заметим, что в исходном неравенстве 2 таких выражения.

Подсказка 6

Изобразите решения в координатах Oax и поймите, какие точки нам интересны.

Показать ответ и решение

Перегруппируем слагаемые верхнего неравенства:

|x − a|+ |a− x+ 1|+ |y − a|+ |a− y+ 1|≤ 2

Рассмотрим следующее выражение:

|t− a|+ |a− t+ 1|

Докажем, что оно больше либо равно единицы для любых $a$ и $t:$

|t− a|+ |a− t+1|≥ 1

Пусть $t<a :$

−t+a +a− t+ 1≥ 1

t≤a

Пусть $a≤ t≤a +1:$

t− a+ a− t+ 1≥ 1

1≥ 1

Пусть $t>a+ 1:$

t− a− a+t− 1≥ 1

t≥ a+ 1

Итого получаем, что $t ∈(−∞;+ ∞)$ и от значения $a$ ничего не зависит. Кроме того, равенство достигается при $t∈[a;a +1].$ Тогда

|x − a|+ |a− x+ 1|+ |y − a|+ |a− y+ 1|≥ 2

По условию,

|x − a|+ |a− x+ 1|+ |y − a|+ |a− y+ 1|≤ 2

Тогда верхнее неравенство из системы превращается в равенство. Оно будет верно, только если

|x − a|+ |a− x+ 1|= 1

|y − a|+ |a− y+ 1|= 1

Данные равенства выполняются, если $x,y ∈ [a;a+ 1].$

Перепишем исходную систему:

(| a ≤x ≤a +1 { a ≤y ≤a+ 1 |( y =6− 2|x2− 2x− 3|

{ a ≤x ≤a +1 a ≤6− 2|x2− 2x− 3|≤ a+ 1

Изобразим решения неравенств системы в координатах $Oax.$ Для первого неравенства получим полосу, заключенную между двумя прямыми $a= x$ и $a= x− 1.$ Решение второго неравенства будет множество точек, лежащих между двумя кривыми $a= 6− 2|(x− 1)2− 4|$ и $a= 5− 2|(x − 1)2− 4|.$

$PIC$

Решение системы будет единственным в тех случаях, когда прямая, параллельная оси $Ox,$ пересекает множество решений системы в одной точке. Подходящими точками являются $A,B,C,D,O,E.$ Найдем точки пересечения прямых $a= x$ и $a= x− 1$ с кривыми $a =6− 2|(x− 1)2− 4|$ и $a =5 − 2|(x− 1)2 − 4|.$

{ a= 6− 2|(x− 1)2− 4| a= x

Раскрываем модуль и подставляем $a :$

Если $x∈ (−∞; −1)∪(3;+ ∞):$

2x2− 3x − 12= 0

√--- x = 3±--105 4

Если $x∈ [−1;3]:$

2x2− 5x =0

x ={0;2,5}

Получим точки

( 3+ √105 3+√105) O = (0;0);E = ---4---;---4---

{ a= 5− 2|(x− 1)2− 4| a= x

Если $x∈ (−∞; −1)∪(3;+ ∞):$

2x2− 3x − 11= 0

√-- x= 3±--97 4

Если $x∈ [−1;3]:$

x2− 5x − 1 =0

√-- x= 5±--33 4

Получим точку

( 3−-√97 3−-√97) B = 4 ; 4

{ a= 6− 2|(x− 1)2− 4| a= x− 1

Если $x∈ (−∞; −1)∪(3;+ ∞):$

2x2− 3x − 13= 0

3± √113- x = ---4---

Если $x∈ [−1;3]:$

2x2− 5x+ 1= 0

5± √17 x= ---4--

Получим точки

( √--- √---) ( √ -- √--) A = 3−--113;−1−--113 ;D = 5-+--17;1+--17 4 4 4 4

{ 2 a= 5− 2|(x− 1) − 4| a= x− 1

Если $x∈ (−∞; −1)∪(3;+ ∞):$

2x2− 3x − 12= 0

√--- x = 3±--105- 4

Если $x∈ [−1;3]:$

2x2− 5x =0

x ={0;2,5}

Получим точку

C = (0;−1)

Мы получили все подходящие нам точки $A,B,C,D,O,E.$ Их координаты по $x$ равны $a$ или $a+1$ (в зависимоcти от того, с какой прямой пересечение). Тогда

{ −1− √113 3− √97 1+ √17 3+ √105} a∈ ----4---;--4---;−1;0;---4--;---4---

Ответ:

$−-1−-√113 4 ;$ $3−-√97 4 ;$ $− 1;$ $0;$ $1+-√17 4 ;$ $3+-√105 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#86348

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

∘-2----- x2+-324- 2 x + 324− f(x)≥ f(x)− a − a

имеет единственное решение, если

∘--------- f(x)= g2(x)− 400, g(x)= 19+ 2cos2x+ 4cosx.

Источники: ШВБ - 2024, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать одновременно и с иксами, и с несколькими функциями не очень хочется. Кроме того, мы можем заметить в условии одинаковые части, например, x² + 324 и f(x) - a. Какими двумя заменами можно привести данное нам неравенство к неравенству от двух функций?

Подсказка 2

Пусть u(x) = √( x² + 324), а v(x) = f(x) – a. В какую совокупность превращается наше неравенство после преобразования, и что мы можем сказать про число решений каждого выражения в данной совокупности?

Подсказка 3

После подстановки наших функций и приведению неравенства к общему знаменателя получится неравенство, которое будет равносильно совокупности u(x) = v(x) или v(x) < 0.

Подсказка 4

Неравенство v(x) < 0 не может иметь единственного решения. Значит, наша задача сводится к тому, чтобы найти a, при которых уравнение a = f(x) - √( x² + 324) имеет единственное решение. На какой способ решения данного параметра нам могут намекнуть квадраты и косинусы в функциях?

Подсказка 5

Функции квадрата и косинуса являются чётными, значит, и f(x) - √( x² + 324) будет четной функцией. Тогда как найти a, при которых уравнение может иметь единственное решение?

Подсказка 6

Если четная функция имеет положительное решение, то она имеет и отрицательное решение, а значит, единственным решением может быть только если это x = 0. Следовательно, a = f(0) – 18 = -3. Теперь мы получили a, при котором число решений является гарантированно нечетным, но не показали, что решение единственно. Подставьте a = -3 в уравнение и докажите, что решение кроме x = 0 быть не может.

Подсказка 7

После подстановки мы получим уравнение f(x) + 3 = √( x² + 324). Решать такое уравнение мы не хотим и не умеем, какие еще способы можно применять в подобных случая?

Подсказка 8

Давайте воспользуемся методом оценки. Правая часть уравнения, очевидно, будет больше либо равна 18, а достигается данное значение при x = 0, остается только доказать, что f(x) + 3 при любых x будет не больше равно 18.

Показать ответ и решение

В обозначениях $u(x)= √x2+-324, v(x)=f(x)− a$ исходное неравенство примет вид

(u(x))2 2u(x) ≥-v(x)-+ v(x)

0≥ (u(x)−-v(x))2- v(x)

u(x)= v(x) или v(x)< 0

Функция $v(x)$ непрерывна как композиция непрерывных функций, поэтому у неравенства $v(x)< 0$ не может быть единственное решение, так что нам подходит только случай $v(x)=u(x).$ Заметим, что никакое решение этого случая не может удовлетворять $v(x)< 0,$ ведь тогда $u(x)= √x2+-324< 0,$ что невозможно.

Итак, мы переформулировали задачу и получили такую: обеспечить единственность решения уже для уравнения

∘-2----- a= f(x)− x + 324

Заметим, что функция $g(x)$ чётная, поэтому и функция $f(x)$ чётная, так что и правая часть полученного уравнения чётная. Следовательно, если уравнение имеет положительное решение, то оно имеет и отрицательное решение (и наоборот). Поэтому единственным решением может быть только $x =0.$ Сначала подставим $x =0$ и найдём, при каких $a$ это значение является решением:

√--- a= f(0)− 324= 15− 18= −3

Теперь проверим, что при $a= −3$ у уравнения

∘-2----- f(x)+ 3= x + 324

нет других решений, кроме $x =0.$ Тут уже поможет метод оценки. Правая часть не меньше $√324= 18,$ причём равенство достигается только при $x= 0.$ А вот левая часть не больше 18, потому что

∘ -2------- f(x)= g(x)− 400≤ 15,

так как

∘ ------2 |g(x)|≤ 400 +15 = 25,

ведь по неравенству треугольника

|19+ 2cos2x +4cosx|≤ |19|+ |2cos2x|+ |4cosx|≤ 19+ 2+ 4=25

Итак, при $a= −3$ действительно единственное решение, при других значениях единственность невозможна.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69289

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

(| y = |a− 3|x+ 1|+ x+ 3|+ 3|x +1|, |||{ ( ) ( ) | 22−y log√3 (x +|a+ 2x|)2 − 6(x+ 1+ |a+ 2x|)+ 16 +2x+|a+2x|log1∕3 y2+1 = 0, |||( x+ |a+ 2x|≤3,

имеет единственное решение $(x;y),$ где $x,y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a.$

Источники: ШВБ-2023, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно заметить, что во втором уравнении системы слагаемые имеют похожий вид. Может, сделать так, чтобы первое слагаемое зависело только от x, а второе только от y...

Подсказка 2

Для этого умножим обе части уравнения на 2^(y-x-|a+2x|). Если каждый логарифм привести к основанию 3, то можно заметить, что оба слагаемых имеют вид f(n)=2ⁿlog₃(n²+1). Тогда наше уравнение имеет вид f(3-x-|a+2x|)=f(y). Что мы можем сказать про знаки чисел 3-x-|a+2x| и y?

Подсказка 3

Из первого уравнения системы видно, что y>=0, а из третьего, что 3-x-|a+2x|>=0. Как ведет себя функция f(n) при n>=0?

Подсказка 4

Можно заметить, что f(n) это произведение двух строго возрастающих функций 2ⁿ и log₃(n²+1) при t>=0. Тогда при t>=0 f(n) тоже будет строго возрастать. Как тогда переписать второе уравнение системы...

Подсказка 5

Второе уравнение системы равносильно тому, что y=3-x-|a+2x|. Подставив у в первое уравнение, мы видим, что оно имеет вид |u|+|v|=u-v, где u=a-3|x+1|+x+3 и v=a+2x. Когда достигается это равенство?

Подсказка 6

Когда u>=0 и v<=0. Тогда 3|x+1|-x-3<=a<=-2x. Попробуйте построить эту область в системе Oxa и понять, какие точки из нее нам подходят.

Подсказка 7

Нетрудно заметить, что если x и a- целые, то и y- целое. Отсюда следует, что осталось только найти все целые а, при которых существует единственный x такой, что точка (x, a) лежит в нашей области. Найдите их!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3(x+ |a +2x|) − 6(x+ |a+2x|)+9+ 1 − 2 log3(y + 1)=0

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3 (x+|a+ 2x|− 3)+ 1 = 2 log3(y +1)

3−x−|a+2x| ( 2 ) y 2 2 log3 (x+ |a+ 2x|− 3) +1 = 2 log3(y +1)

Из первого уравнения системы следует, что $y ≥ 0.$ Из третьего уравнения системы $3− x − |a+ 2x|≥ 0.$

Введём функцию

t 2 f(t)= 2 log3(t + 1)

Она является произведением строго возрастающих функций при $t ≥0.$ Значит, тоже является строго возрастающей функцией при $t≥ 0.$ Значит, она имеет свойство:

f(a)= f(b)⇔ a= b

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение $f(t),$

f(3− x− |a+ 2x|)= f(y)

Следовательно, по свойству оно равносильно

3 − x− |a+2x|= y

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

3− x− |a+ 2x|= |a − 3|x+1|+ x+ 3|+ 3|x+ 1|

|a− 3|x +1|+x +3|+ |a+ 2x|= 3− x− 3|x+ 1|

Обозначим $u =a − 3|x +1|+ x+3,v = a+ 2x.$ Тогда исходное уравнение будет иметь вид

|u|+ |v|=u − v

Решениями последнего уравнения являются все $u$ и $v$ такие, что

{ u≥ 0 v ≤ 0

{ a− 3|x+ 1|+ x+ 3≥ 0 a+2x ≤0

Отсюда имеем

3|x+ 1|− x − 3≤ a≤ −2x

В системе $Oxa$ построим графики функций

a =3|x+ 1|− x− 3 и a= −2x

$PIC$

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка $(x,a)$ должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если $x$ — целое число, то

y = |a − 3|x +1|+ x+3|+ 3|x+ 1|

будет целым, если $a$ целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые $a,$ для которых будет только один такой целый $x,$ что точка $(x,a)$ лежит в закрашенной зоне на графике:

При $a= −2$ имеем решение $x= −1,y =0;$

При $a= −1$ имеем решение $x= −1,y =1;$

При $a= 1$ имеем решение $x =− 1,y = 3;$

При $a= 3$ имеем решение $x =− 2,y = 4;$

При $a= 4$ имеем решение $x =− 2,y = 5;$

При $a= 6$ имеем решение $x =− 3,y = 6.$

Ответ:

$a =− 2,x= −1,y = 0;$

$a= −1,x =− 1,y =1;$

$a= 1,x= −1,y = 3;$

$a= 3,x= −2,y = 4;$

$a= 4,x= −2,y = 5;$

$a= 6,x= −3,y = 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85347

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 2+ |2x +2||= a

имеет нечетное количество решений?

Показать ответ и решение

Построим график функции $f(x)=x − 2+ |2x +2|$ , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в $3$ и $4$ четвертях. Раскроем внутренний модуль:

При $x≤ −1$ получаем $f(x)= x− 2 − (2x+ 2)= −x − 4$

При $x> −1$ получаем $f(x)= x− 2+2x+ 2= 3x$

$PIC$

Найдём значения параметра $a$ , при которых прямая $y =a$ пересекает график $f(x)$ в нечетном числе точек.

При $a< 0$ пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.

При $a= 0$ получаем $2$ решения.

При $0< a< 3$ получаем $4$ решения.

При $a= 3$ получаем $3$ решения.

При $a> 3$ получаем $2$ решения.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74504

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ (ay− ax+2)(4y − 3|x − a|− x+ 5a)= 0 ( ) ( logax2+ logay2− 2log2 a2 =8

имеет шесть различных решений.

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Система только кажется страшной, а когда так кажется, то скорее всего за ней спрятано что-то простое. Давайте тогда попробуем разбить наши сложные уравнения на несколько простых, а ещё попутно не забудем собирать ограничения на ОДЗ!

Подсказка 2

Во втором уравнении как-то странно выбивается log₂(a²), ведь остальные логарифмы по основанию "a". Может, стоит его перевернуть? Не забывайте, что мы не всегда вправе так делать, вспомните, какими утверждениями мы пользуемся при таком переходе, чтобы он был равносильным.

Подсказка 3

Первое уравнение легко распадается на 2 независимых, а значит, нашу систему можно переписать как совокупность систем и работать с каждой из них по отдельности. Мы могли бы поверить в светлое будущее и понадеяться, что в сумме полученные системы имеют не более 6 решений, чтобы получить ещё побольше информации, но, порисовав графики, можно убедиться, что решений может быть больше. Поэтому придётся искать, сколько решений имеет каждая из систем по отдельности для всех "a".

Подсказка 4

Давайте начнём с системы ay-ax+2=0; |xy|=4a. Про I, II, III четверти мы всё понимаем, а вот с IV стоит поработать. Поэтому мы сразу можем сказать, что работаем при x > 0, y < 0. Интуитивно хочется сказать, что нас волнует только точка (1/a, -1/a) прямой ay-ax+2=0, которая сама бегает по прямой y = -x, а именно под или над веткой гиперболы она лежит. Ещё очень хочется сказать, что ближайший маршрут от точки (0,0) до ветки лежит на прямой y = -x. А если что-то хочется, то надо бы попробовать это доказать. Подумайте, как можно понять, сколько общих точек с веткой гиперболы из IV четверти имеет наша прямая для всех "a"?

Подсказка 5

Мы же можем перейти к расстояниям от интересующих нас точек до точки (0,0), ведь они обе лежат на прямой y=-x и на ней же лежит отрезок из начала координат до ближайших точек соответствующих графиков, а зная расстояние до каждой из них, мы с лёгкостью сможем сказать, сколько решений имеет данная система.

Подсказка 6

Чтобы найти длину достаточно знать координаты каждой из указанных точек и воспользоваться теоремой Пифагора. На самом деле для нахождения кратчайшего расстояния до прямой ay-ax+2=0 можно было воспользоваться фактами для прямоугольного треугольника, который образуется пересечением этой прямой с осями, такой приём может сильно сократить вычисления в более сложных задачах.

Подсказка 7

Наконец перейдём ко второй системе. Теперь у нас один из графиков не прямой, а "уголок" ("галочка", "клин"). Чтобы хорошо себе представить его поведение хорошо бы знать, как меняется его "вершина" и "ветки" при изменении "a".

Подсказка 7

Можно заметить, что коэффициент перед "x" от "a" не зависит, а значит его ветки постоянны, а если вместо "x" подставить "a" (момент смены знака модуля или наклона прямой), то можно заметить, что y = -a, а значит, его вершина лежит на прямой y=-x, и мы снова свели задачку к IV четверти, но у нас уже есть все инструменты для решения аналогичной задачи!

Подсказка 8

Не забудьте про то, что если первая система имеет A решений, вторая - B, то необязательно, что их совокупность будет иметь A+B решений, ведь некоторые могут совпасть...

Показать ответ и решение

Упростим второе уравнение системы:

( 2 2 ) 2 22 logax +logay − 2 log2a = 8⇔ a >0,a⁄= 1,logaxy =2+ 4loga2,|xy|=4a

⌊ { ay − ax+ 2= 0 ⌊ { y =x −-2 || |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 || |xy|= 4aa,a> 0,a⁄= 1 || { ⇔ || { |⌈ 4y − 3|x − a|− x+ 5a =0 |⌈ y = 34|x− a|+ x4 − 5a4 |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 |xy|= 4a,a> 0,a⁄= 1

{ y = x− 2∕a |xy|= 4a, a> 0,a⁄= 1.

1) Система имеет 2 различных решения, если

2 √- 1 a < 4 a,a> √34-,a ⁄=1

Найдем эти решения:

x −-2= 4a,x2− 2x− 4a =0, a x a

√------ √------ x = 1±--1+-4a3,y = −1±--1+-4a3 1∕2 a 1∕2 a

2) Система имеет 3 различных решения, если

2 √ - -1- a = 4 a, a= √34-

Найдем эти решения:

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

√ - √- x3 = 2 a,y3 = −2 a

3) Система имеет 4 различных решения, если

2> 4√a, 0 <a < 1√-- a 34

Найдем эти решения:

2 4a 2 2 x− a =-x ⇒ x − ax− 4a =0

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

x− 2 =− 4a⇒ x2− 2x +4a= 0 a x a

√------ √------ x3∕4 = 1±-1−-4a3,y3∕4 = −1±--1−-4a3 a a

$PIC$

II.

{ y = 3|x − a|∕4 +x∕4− 5a∕4 |xy|=4a, a >0,a⁄= 1

$y = 3|x− a|∕4+ x∕4− 5a∕4,$ при $x≥ a$ имеем $y =x − 2a,$ при $x≤$ $a$ имеем $x+a y = − 2 .$

1) Система имеет 2 различных решения, если

√- 2a <4 a,a< 4,a⁄= 1

Найдем эти решения:

4a 2 x − 2a= x ⇒ x − 2ax− 4a= 0

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

x+ a 4a −--2- =− x-⇒ x2+ ax− 8a =0

√ ------- √------- x2 = −-a−-a2+32a,y2 = −a+-a2+-32a 2 4

$PIC$

2) Система имеет 3 различных решения, если

√ - 2a= 4 a,a =4

Найдем эти решения:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ -2----- √-2----- x2 = −-a−-a-+32a,y2 = −a+-a-+-32a 2 4

x3 = 2√a,y3 = −2√a

3) Найдем значение параметра $a> 0,$ при котором прямая $y = − x+2a$ будет касаться графика гиперболы $y = 4xa.$

− x+-a= 4a ⇒ x2 +ax+ 8a= 0 2 x

$D= a(a− 32)= 0,a =32.$ Тогда при $4< a <32$ система будет иметь 4 решения:

∘-2---- ∘ -2---- x1 = a+ a + 4a,y1 = −a+ a +4a

------- ------- −-a±√-a2+32a −-a∓√-a2+32a x2∕3 = 2 ,y2∕3 = 4

Найдем четвертое решение:

4a 2 x− 2a =− x-,x − 2ax+ 4a= 0

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

4) При $a= 32$ система будет иметь 5 различных решений:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ ------- √ ------- x2∕3 = −-a±-a2+32a,y2∕3 = −-a∓-a2+32a 2 4

x = a+ ∘a2−-4a,y = −a+ ∘a2-− 4a 4 4

x5 =− a∕2,y5 = −a∕4

5) Система имеет 6 различных решений при $a> 32$ :

------ ------ x1 = a+ ∘a2+ 4a,y1 = −a+ ∘ a2+4a

− a±√a2-+32a- − a∓√a2-+32a- x2∕3 =------2-----,y2∕3 =------4-----

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

− a±√a2-− 32a − a∓√a2-− 32a x5∕6 =------2-----,y5∕6 =------4-----

$PIC$

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) $x− 2a = x− 2a,a= 1,$ в этом случае нет решений;

2) прямые $y = x− 2a,y = − x+2a$ и гипербола $y = 4xa$ пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при $a > 32,$ и в этом случае будет 7 решений.

Ответ:

$(0;√1-)∪(4;32) 34$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#86448

При каких целых значениях параметра $a$ для корней $x,x 1 2$ уравнения

2 3x − x(a +3)+ a= 0

выражение $∘---1----- (x1− x2)2$ будет натуральным числом?

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Из формул для корней уравнения $3x2− x(a+ 3)+a = 0$ имеем, что

a +3− ∘ (a-+3)2− 12a− a− 3− ∘ (a+-3)2−-12a |x1− x2|= |----------------6------------------|=

√--------- ∘------ =|−2-a2−-6a+-9|= -(a−-3)2-= |a−-3| 6 3 3

Поэтому выражение из условия равно

∘---1-----= --1----=--3-- (x1− x2)2 |x1− x2| |a− 3|

Так как $a$ — целое, то результат будет натуральным, когда $.. 3.|a− 3|.$ Так что возможные значения параметра находятся из совокупности:

[ |a− 3|= 1 |a− 3|= 3

⌊ | a− 3= 1 || a− 3= −1 |⌈ a− 3= 3 a− 3= −3

Подходят значения параметра $a∈ {0;2;4;6}.$

Ответ: 0; 2; 4; 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#101394

При каких значениях параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной на координатной плоскости $xOy$ линиями

x x 2 2 y = 2 +1, y = 2 − 1, x= a− 1− a, x= a − 3a+ 1,

равна $16?$

Источники: ШВБ - 2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, что из себя представляют линии x = a - 1 - a² и x = a² - 3a + 1

Подсказка 2

Да, это действительно будут просто вертикальные прямые. Теперь попробуйте визуализировать: что будет представлять собой фигура, ограниченная заданными прямыми?

Подсказка 3

Попробуйте вспомнить, какие есть формулы площади параллелограмма. Какая из них может помочь нам решить задачу, учитывая, что длина одной из сторон — постоянная величина?

Подсказка 4

Учитывая, что у нас фиксированная площадь и одна из сторон так же фиксирована, значит существует и единственное возможное значение длины высоты, опущенной к этой стороне. Попробуйте представить высоту как выражение, зависящее от параметра a.

Показать ответ и решение

Рассмотрим и нарисуем графики функций $f(x)= x +1 2$ и $g(x)= x− 1: 2$

$PIC$

Так как мы работаем в плоскости $xOy,$ то $x= a− 1 − a2$ и $x= a2− 3a +1$ являются вертикальными линиями, двигающимися вдоль $Ox$ при изменении $a.$ Получается, что мы должны рассматривать площадь параллелограмма.

Так как $f(x)$ и $g(x)$ не зависят от параметра $a$ , то мы можем воспользоваться формулой $S = a⋅h,$ где $a$ — длина прямой, ограниченной нашими функциями, а $h$ — расстояние между вертикальными линиями.

$PIC$

Заметим, что $a$ мы можем очень легко найти:

a= f(0)− g(0)= 2

По условию:

16= 2⋅h =⇒ h =8

Так же $h$ можно представить как:

h= |a − 1− a2− a2 +3a− 1|=|− 2a2 +4a− 2|

Осталось лишь найти корни уравнения, когда $h = 8:$

2 |− 2a + 4a− 2|= 8

2 2(a− 1) =8

[ a =− 1 a= 3

Ответ:

${−1; 3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#101475

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ 7a− 30cost+3 ≤0 5sint+ a+ 1+ |cost|+ |5cost−-4|= 0 2 2cost 5cost− 4

имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a.$

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С тригонометрическими функциями работать неприятно, а в рамках таких нетривиальных равенств даже больно. Давайте замену x = 5cos t, y = 5sin t. Чтобы замена была равносильной, добавим в систему третьей уравнение x²+y²=25.

Подсказка 2

Давайте обратим внимание на второе равенство. Предлагается рассмотреть три случая: x < 0, 0 < x < 4, 4 < x. В каждом из этих случаев второе уравнение превращается в нечто простое.

Подсказка 3

В каждой в третье уравнение можно вместо y подставить его выражение через a и изобразить область первого неравенства и третьего равенства в осях xa. Дальше останется аккуратно понять, при каких a будут решения.

Показать ответ и решение

Сделаем следующие замены: $x =5cost,y = 5sint,x2+y2 =25.$

Имеем

(| |{ 7a−1 6x|x+| 3≤|x−0,4| ||( y+ a+ 22 + 2x2 + x−4 = 0, x + y = 25.

Система распадается на совокупность трёх систем:

(| 7a − 6x+ 3≤ 0, (| 7a − 6x+ 3≤ 0, { x> 4,y =− a− 2, ⇔ { x> 4,y = −a− 2, |( x2 +y2 = 25, |( x2 +(a+ 2)2 = 25.

(| 7a− 6x+ 3≤ 0, (| 7a− 6x+ 3≤ 0, { 0< x< 4,y =− a,⇔ { 0< x< 4,y =− a, |( x2+y2 = 25, |( x2+a2 = 25.

(| 7a − 6x+ 3≤ 0, (| 7a− 6x+ 3≤ 0, { x< 0,y = −a+ 1 ⇔ { x< 0,y =− a+1, |( x2 +y2 = 25, |( x2+ (a− 1)2 = 25.

В системе координат $Oxa$ изобразим решение системы

(|| 7a − 6x+ 3≤ 0 ||{ ⌊ x> 4,x2+ (a+2)2 = 25 || |⌈ 0< x< 4,x2+a2 =25 ||( x< 0,x2+ (a− 1)2 = 25

$PIC$

$1)$ Имеем решение $∘ --------2- x= 25− (a+ 2) при a∈ (− 5;1).$

Тогда

∘------------ cost= 1− ((a+ 2)∕5)2

y = −a− 2

sint= −(a+ 2)∕5

Откуда получается, что

t=− arcsin((a +2)∕5)+ 2πn, n∈ Z

При записи же ответа через $arccos$ нужно учитывать знаки $sint= −(a+ 2)∕5$ , т.е. $\text{[math]}$ при $a∈ (− 5;−2]$

∘------------ t =arccos 1 − ((a +2)∕5)2+ 2πn,n ∈Z

а при $a∈ (−2;1)$ имеем

∘------------ t=− arccos 1− ((a+ 2)∕5)2+ 2πn,n∈ Z

$2)$ Имеем решение $√ ------ x = 25− a2$ при $a∈ (− 5;−3)$ . Тогда

∘-------2 cost= 1− (a∕5)

y = −a

sint= −a∕5

Откуда получается, что

t= − arcsin(a∕5)+ 2πn, n∈ Z

или

∘-------- t=arccos 1 − (a∕5)2+ 2πn,n ∈Z

3) Имеем решение $---------- x= −∘ 25 − (a− 1)2$ при $a∈ (−4;−3]$ . Тогда

∘ ------------ cost= − 1− ((a− 1)∕5)2

y = −a+ 1

sint= −(a− 1)∕5

Откуда получается, что

t= π+ arcsin((a− 1)∕5)+ 2πn, n∈ Z

или

∘ -----------2 t= π− arccos 1− ((a− 1)∕5) +2πn,n∈ Z

Ответ:

$a ∈(−5;1)$

$1)$ при $a∈ (− 5;−4]$ имеем $t1 = − arcsin((a+ 2)∕5)+2πn,t2 =− arcsin(a∕5)+ 2πn, n∈ Z;$

$2)$ при $a∈ (− 4;−3)$ имеем $t1 = − arcsin((a+ 2)∕5)+2πn,t2 =− arcsin(a∕5)+ 2πn,$ $t3 =π +arcsin((a− 1)∕5)+ 2πn, n ∈Z;$

$3)$ при $a= −3$ имеем $t1 = arcsin(1∕5)+ 2πn,t2 = π− arcsin(4∕5)+ 2πn, n∈ Z;$

$4)$ при $a∈ (− 3;1)$ имеем $t1 = − arcsin((a+2)∕5)+2πn, n ∈Z.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105233

Найдите все значения параметра $b,$ при котором для любого значения параметра $a∈[−2;1]$ неравенство

2 2 2 a +b − sin 2x− 2(a+ b)cos2x− 2>0

не выполняется хотя бы для одного значения $x.$

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения, связанные с x, являются тригонометрическими функциями, так что полезно сделать замену cos 2x = y. Тогда мы знаем, какие значения принимает y, и при этом избавились от косинусов.

Подсказка 2

У нас получается парабола от y с ветвями вверх. Нас интересует её минимум на отрезке: он будет или на границе отрезка, или в вершине параболы. Это позволяет получить какие-то системы неравенств.

Подсказка 3

Теперь задачу можно изобразить на графике в осях aOb, поскольку у нас как раз 2 параметра. Тогда значения параметров, для которых существует хотя бы один плохой y, лежат внутри пересечения графиков.

Подсказка 4

Нас интересуют такие b, что весь отрезок [-2; 1] будет лежать в области внутри графиков. Осталось подставить крайние значения для a и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть $y =cos2x, y ∈ [−1;1].$ Тогда:

2 2 2 a + b − sin 2x − 2(a+ b)y− 2> 0

2 2 2 a +b − 1+y − 2(a+b)y− 2> 0

y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2 − 3> 0

Найдем при каких $a$ и $b$ неравенство выполняется для любых $y ∈[−1;1].$ Рассмотрим функцию

f(x)= y2− 2(a+ b)y +a2+ b2− 3

Ее графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $y0 =− −2(2a⋅+1b)= a+ b.$ Рассмотрим три случая местоположения вершины относительно отрезка $[−1;1]:$

{ { { a+ b≤ −1 (1) −1< a+ b< 1 (2) a+ b≥1 (3) f(−1)>0 f(a +b)> 0 f(1)> 0

{ { { a+ b≤− 1 (1) −1 <a +b< 1 (2) a+ b≥ 1 (3) (a +1)2+ (b+ 1)2 > 4 ab< −1,5 (a− 1)2+ (b − 1)2 > 4

На координатной плоскости $aOb$ изобразим множество точек $(a,b),$ удовлетворяющих всем трём условиям. Точки, для которых неравенство не выполняется хотя бы для одного $y ∈ [−1;1]$ , лежат внутри области, ограниченной графиками. Проверим область на замкнутость:

$PIC$

Точки пересечения графиков $(a+1)2+ (b+ 1)2 =4$ и $a+ b= −1:$

(a+ 1)2+ (−1− a+1)2 = 4

2a2+ 2a− 3= 0

⌊ − 1− √7 || a= ---2√-- ⌈ a= −-1+--7 2

Точки пересечения графиков $ab= −1,5$ и $a+ b= −1:$

a⋅(− 1− a)= −1,5

2 −a − a + 1,5= 0

⌊ √ - a= −-1−--7 ||⌈ 2√ - a= −-1+--7 2

Аналогично проверяем точки пересечения графиков с $a +b= 1.$ Точки совпадают, значит, область замкнутая.

В итоге, точки, для которых неравенство $y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2− 3> 0$ не выполняется хотя бы для одного $y ∈[−1;1],$ образуют замкнутую область, граница которой состоит из графиков двух окружностей и гиперболы, граница включается. Для решения задачи необходимо найти такие значения $b,$ при которых точки $(a,b)$ попадают в получившуюся область для любых $a∈ [−2,1].$ Такие значения $b$ образуют отрезок $[b1;b2].$

$b1$ найдем, подставив $a= 1$ в уравнение гиперболы. $b2$ найдем, подставив $a= −2$ в уравнение окружности $2 2 (a+ 1)+ (b+1) = 4.$ Получаем $[ √ - ] −1,5; 3− 1 .$

Ответ:

$[−1,5;√3− 1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#101396

При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x)= p(x)$ , где

||x2−-6x+-9 4x2− 5x|| f(x)=|| 3− x + x ||, p(x)= |x+ a|,

имеет одно решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли как-то сократить f(x)? (Не забудьте про ОДЗ!)

Подсказка 2

Попробуйте изобразить на координатной плоскости, что из себя представляют графики f(x) и p(x)? В каком случае исходное уравнение имеет только одно решение?

Подсказка 3

Да, уравнение будет иметь одно решение, если наши графики пересекаются лишь в одной точке. Учитывая то, как выглядят графики, при каких условиях они будут пересекаться лишь в одной точке?

Подсказка 4

Подумайте об "особых" точках графиков. Может, как-то помогут выколотые из-за ОДЗ точки или вершина?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)$ и преобразуем её:

ОДЗ:

{ x⁄= 3 x⁄= 0

f(x)= |3− x+ 4x− 5|= |3x − 2|

Тогда, если нарисовать наши графики с учётом ОДЗ, получится:

$PIC$

Чтобы уравнение $f(x)= p(x)$ имело одно решение, графики должны пересекаться только в одной точке. Такое возможно, когда $p(x)$ пересекает $f(x)$ в вершине или проходит через выколотые точки.

⌊ |2 | | |3 + a|= 0 ⌈ |0+a|= 2 |3+a|= 7

⌊ | a= − 23 || a =±2 |⌈ a= 4 a= −10

Ответ:

${−10,− 2,− 2,2,4} 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85349

Найдите все такие $k$ и $b$ , при которых система уравнений

{ y+2|x|= 2; y = kx +b

имеет бесконечно много решений.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Построим график функции, соответствующей первому уравнению, он без параметра, никуда не двигается. А вторая функция может задавать любую прямую.

Подсказка 2

Прямая может пересекать галочку в бесконечном числе точек, только если прямая совпадает с одной из “половинок” этой галочки. Осталось всего лишь выписать уравнения прямых, соответствующих двум половинкам галочки и выразить оттуда k и а.

Показать ответ и решение

Посмотрим на график первого уравнения. Это галочка с вершиной в точке $(0;2)$ , пересекающая ось $OX$ в точках $(−1;0)$ и $(1;0).$

$PIC$

Уравнение $y = kx+ b$ задает прямую. Предположим, что $k$ отлично от $2$ и $− 2.$ Тогда прямая непараллельна ни одному из лучей графика первого уравнения, и поэтому пересекает его не более, чем в двух точках.

Если $k= 2,$ то прямая либо содержит левый луч графика модуля, либо параллельна ему, а также имеет не более одной общей точки с правым лучом. Бесконечное число решений получится, если прямая содержит левый луч графика. Это происходит при $b= 2,$ так как тогда точка $(0;2)$ принадлежит прямой.

Аналогично при $k =−2$ получаем $b =2.$

Ответ:

$k =2;b= 2$ или $k =− 2;b= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#106820

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ log (ax)=2log (x+ y), 3−|x x−1=|∘x2-−-6x-+|xy−1+|8-

имеет единственное решение, и найдите это решение при каждом $a$ .

Показать ответ и решение

Второе уравнение равносильно системе

{ x≤ 3, x2− 6x+y +8 =x2− 6x+ 9.

Следовательно, можем подставить $y = 1$ в исходную систему, учесть ограничения и получить равносильную систему:

(|{ x2+ (2− a)x+ 1= 0, y = 1, |( −1< x ≤3,x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2.

Выясним, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x2+(2− a)x +1= 0(∗)$ имеет единственное решение, если $− 1< x ≤3,x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2$ .

1) $D= a(a− 4),D= a(a− 4),x= a−22$ . При $a =0$ корень $x =− 1$ не подходит; при $a =4$ корень $x =1$ не подходит.

2) Выясним, при каких $a$ точки $x= 0,x =1,x= 2$ являются решениями уравнения (*).

$x= 0$ не является решением ни при каком $a$ ;

$x= 1$ является единственным решением уравнения $(∗)$ при $a =4$ ;

∗ x= 2 является решением ( ) при a= 4,5,

поскольку при подстановке $x = 2$ в уравнение (*) имеем $22+(2− a)2 +1= 0,2a= 9$ . Однако, при $a= 4,5$ уравнение (*) имеет второе решение $x= 0,5$ , удовлетворяющее поставленным условиям.

Следовательно, при $a= 4,5$ система имеет единственное решение $x= 0,5,y = 1$ .

3) Если дискриминант уравнения (*) больше нуля, то уравнение имеет два различных решения, но при условии $f(− 1)f(3)< 0$ , где $f(x)= x2 +(2− a)x+ 1$ , один корень будет посторонним, а один будет удовлетворять неравенству $− 1< x< 3$ . Имеем $f(−1)= a,f(3)=16− 3a$ , приходим к неравенству $a(16− 3a)< 0$ , и $a∈ (− ∞;0)∪(16∕3;+∞ )$ .

Если $a∈ (−∞; 0)$ , то

√ ------ x= a−-2+--a2− 4a 2

Если $a∈ (16∕3;+∞ )$ , то $√----- x= a−2−-a2−4a- 2$ .

4) Проверим случаи, когда $f(−1)= 0$ и $f(3)= 0$ . Первое равенство выполняется при $a =0$ , уравнение (*) не имеет решений, удовлетворяющих поставленным условиям. Второе равенство справедливо при $a= 16∕3$ . В этом случае уравнение (*) имеет вид $x2+ 10x+ 1= 0 3$ , и имеет два решения $x= 1∕3$ и $x =3$ , которые оба подходят.

Ответ:

$(1;1) 2$ при $a= 9 2$

$a−2+√a2−4a ( 2 ;1)$ при $a∈ (−∞; 0)$

$a−2−√a2−4a ( 2 ;1)$ при $(16 ) a∈ 3 ;+∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#78773

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

({ y− 1= a(x − 1); --2x- √ - ( |y|+ y = x

имеет хотя бы одно решение, и решите ее при каждом $a$ .

Источники: ШВБ-2017, 11.5 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте с самого начала попробуем разобраться с модулем. Можем ли мы раскрыть его с отрицательным знаком?

Подсказка 2

Верно, если мы раскроем модуль со знаком минус, то второе уравнение будет нарушать ОДЗ, поэтому y>0. Теперь можно немного преобразовать второе уравнение и подумать, что с ним делать. Можем ли мы сходу сократить на √x?

Подсказка 3

Да, просто сократить мы не можем. Нужно отдельно рассмотреть x=0 и x>0. Для x=0 мы сразу получаем решение, главное не забыть, что y>0. Теперь же мы можем сократить на √x второе уравнение. Отлично. Давайте подставим y через √x в первое уравнение. Как можно тогда преобразовать x-1, чтобы ситуация стала аналогичной прошлой?

Подсказка 4

Верно, ведь x - 1 = (√x + 1)(√x - 1). Получается нужно снова рассмотреть вариант, когда √x-1=0. Когда же он не равен нулю, то можно сократить и выразить x и y через а. Теперь нам осталось аккуратно выписать решения при всех a. Но про что нужно не забыть при решении параметра?

Подсказка 5

Верно, нужно проверить совпадение корней. Это можно сделать, приравняв их и узнав, при каких a это будет. По итогу, у вас должно получится три разных решения при различных a. Победа!

Показать ответ и решение

Если $y ≤0,$ то $|y|+ y = 0,$ что нарушает ОДЗ второго уравнения системы. Значит, $y >0,$ и система принимает вид:

{ y− 1= a(x − 1), x= y√x

Рассмотрим случаи.

(a) Если $x= 0,$ то $y = 1− a,$ отсюда $a< 1.$

(b) Если $x> 0,$ тогда система принимает вид:

{ y = √x, √x− 1= a(√x-− 1)(√x+ 1)

Разберём варианты последнего уравнения системы:

$(b.1)$ Если $√x-− 1 =0$ тогда $x = 1, y = 1, a∈ ℝ.$

$(b.2)$ Если $√x-− 1 ⁄=0$ тогда сократим на $(√x− 1)$ и получим:

a(√x+ 1)= 1⇒ √x = 1− 1= 1−-a> 0⇒ 0 <a <1. a a

Найденное решение $(1−a)2 1−-a x= a , y = a$ совпадает с предыдущим, если $1−a 1 a = 1⇒ a= 2.$ Итак, при $( 1) (1 ) a ∈ 0;2 ∪ 2;1$ решения имеют вид $(1−a)2 1−a x= a , y = a .$

$PIC$

Ответ:

При $a∈ (− ∞;0]∪{1} (x;y)∈{(0;1− a),(1;1)} 2$

При $( ) ( ) (( ) ) a∈ 0;1 ∪ 1;1 (x;y)∈ {(0;1− a),(1;1), 1−-a 2;1−-a } 2 2 a a$

При $a∈ [1;+∞ ) (x;y)= (1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#94923

При каких значениях параметра $a$ уравнение

∘-------∘----- x + 1 + x+ 1 +x =a 2 4

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Функция $∘---1--∘----1- a(x)= x +2 + x+ 4 + x$ — непрерывная на ОДЗ строго возрастающая функция (как композиция непрерывных возрастающих функций). Она принимает каждое значение от $a(− 14)= 14$ и все большие значения ровно по одному разу.

Ответ:

$[1;+ ∞) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#106822

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 2 4x − 8|x|+(2a+ |x|+x) = 4

имеет ровно два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений $a.$

Показать ответ и решение

1.

Пусть $x >0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

2x2+ x(2a− 2)+a2− 1= 0

1.1.

Обозначим здесь и далее $x0$ абсцису вершины пораболы. Пусть данное уравнение имеет два положительных корня. Это эквиваленто условиям:

( (|{ D > 0 ||{ −4a2− 8a+ 12> 0 (|{ a∈ (−3;1) x0 > 0 ⇔ −2a+-2> 0 ⇔ a< 1 ⇔ a ∈(−3;−1) |( f(0)>0 ||( a24− 1 >0 |( a∈ (−∞;−1)∪ (1;+∞ )

1.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один положительный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

{ D= 0 ({ −4a2− 8a +12= 0 ⇔ ( −2a+-2 >0 ⇔ a= −3 x0 >0 4

Если уравнение имеет два корня, но только один из них положительный, а второй отрицательный:

{ { { D > 0 −4a2− 8a +12> 0 a ∈(−3;1) f(0)< 0 ⇔ a2− 1< 0 ⇔ a ∈(−1;1) ⇔ a∈ (−1,1)

Если уравнение имеет два корня. Один из них положительный, а второй равен $0$ :

(| D > 0 (|| −4a2− 8a +12> 0 (| a ∈(−3;1) { f(0)=0 ⇔ { a= ±1 ⇔ { a = ±1 ⇔ a= −1 |( x > 0 ||( −2a+-2 >0 |( a ∈(−∞; 1) 0 4

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один положительный корень при $a∈ {− 3} ∪[− 1;1).$

1.3.

Пусть данное уравнение не имеет положительных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

2 −4a − 8a+ 12< 0

a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞)

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0:

{ { D= 0 a∈ {− 3;1} f(0)= 0 ⇔ a= ±1 ⇔ a= 1

Объединяя оба случая, получаем, что уравнения не имеет положительных корней при $a∈ (−∞;−3)∪ [1;+∞).$

2.

Пусть теперь $x< 0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

x2+ 2x+a2− 1= 0

2.1.

Пусть данное уравнение имеет два отрицательных корня. Это эквиваленто условиям:

( ( |{ D >0 ||{ 8 − 4a2 > 0 { √- √- √- √- | x0 < 0 ⇔ | −2< 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) ⇔ a ∈(− 2;−1)∪ (1; 2) ( f(0)> 0 |( a22 − 1> 0 a ∈(−∞;− 1)∪ (1;+∞ )

2.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

( { D =0 { 8− 4a2 =0 √ - x0 < 0 ⇔ ( −-2< 0 ⇔ a= ± 2 2

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй положительный:

{ { 2 { √- √- D > 0 ⇔ 82− 4a > 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) f(0) <0 a − 1< 0 a ∈(−1;1)

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй равен $0$ :

( ( 2 |{ D > 0 ||{ 8− 4a > 0 { a ∈(−√2;√2) | f(0) =0 ⇔ | a−22− 1 =0 ⇔ a =±1 ( x0 < 0 |( -2-<0

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один отрицательный корень при $a∈ {±√2}∪ [− 1;1].$

2.3.

Пусть данное уравнение не имеет отрицательных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

8 − 4a2 > 0

a∈(−∞; −√2)∪(√2;+∞ )

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0

{ D =0 { a= ±√2- f(0)= 0 ⇔ a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

В итоге уравнение не имеет отрицательных корней при $a∈ (−∞; −√2)∪ (√2;+∞ ).$

3.

Пусть $x =0.$ Тогда $a= ±1.$

Теперь выберем случаи, когда уравнение имеет ровно два корня.

Вариант 1. Если в случае 1 ровно два корня, в случае 2 и в случае 3 нет корней:

( |{ a∈(−3;−1)√- √- √- |( a∈(−∞; − 2)∪( 2;+∞ ) ⇔ a ∈(−3;− 2) a⁄= ±1

Причем корни будут

−(2a − 2)± √−4a2−-8a+12 1 ∘ ---------- x1,2 =----------4-----------= 2(1− a± −a2− 2a+ 3)

Вариант 2. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 2 ровно один, а в случае 3 нет корней:

( |{ a∈ {− 3}√-∪[−1;1) |( a∈ {± 2}∪[−1;1] ⇔ a∈ (− 1;1) a⁄= ±1

Причем корни будут:

−(2a− 2)+ √−-4a2-− 8a+-12 1 ∘ ---------- x1 =----------4-----------= 2(1− a + −a2− 2a+3)

√------ x2 = −2−-8-− 4a2= −1− ∘2-− a2 2

Вариант 3. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 2 нет корней:

(| a∈ {−3}∪[−1;1) { a∈ (− ∞;−√2)∪ (√2;+ ∞) |( a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

Вариант 4. Если в случае 2 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 1 нет корней:

(|{ a ∈(−∞;− 3)∪[1;+∞ ) a ∈{±√2} ∪[−1;1] ⇔ a= 1 |( a =±1

Причем корни будут:

√----------- x = −(2a−-2)+--−-4a2-− 8a+-12= 1(1− a +∘ −a2−-2a+3) 1 4 2

−2− √8-− 4a2 ∘ ----- x2 =-----2-----= −1− 2− a2

Вариант 5. Если в случае 2 ровно два корня, в случае 1 и в случае 3 нет корней:

(| a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞) { a∈ a∈ (−√2;− 1)∪ (1;√2) ⇔ a∈ (1;√2) |( a⁄= ±1

Причем корни будут:

x1,2 = −1± ∘2-− a2

Ответ:

$a ∈(−3;−√2), x = (1− a±√3-−-2a-− a2)∕2 1,2$

$( √--------) √ ----- a∈(−1;1], x1 = 1− a+ 3− 2a− a2 ∕2, x2 =− 1− 2− a2$

$√- √----- a∈(1; 2), x1,2 = −1± 2− a2$