Комбинаторика на Бельчонке: способы, вероятности, графы, турниры, клетки

Если — четное число, то вся таблица разбивается на квадратов , в каждом из которых находится ровно 2 фишки. Поэтому общее число фишек равно .

Пусть теперь . Разобьем таблицу на квадраты и фигуры вида:

так, как показано на рисунке:

В любой такой фигуре должна стоять хотя бы одна фишка, иначе в квадрате , примыкающем к данной, должно быть не менее 3 фишек — противоречие.

Таким образом, общее число фишек в таблице не менее

С другой стороны, поскольку в любом квадрате должно быть ровно 2 пустых клетки (незанятых фишками), то аналогично получаем, что пустых клеток в таблице также не менее . И зн̆ачит, фишек в таблице не более

Пример, приведенный на рисунке, показывает, что любое значение числа фишек из указанного промежутка достигается.

(В этом примере число фишек равно , где .