Комбинаторика на Бельчонке: способы, вероятности, графы, турниры, клетки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126030Максимум баллов за задание: 7

Квадрат $5× 5$ расчертили на 25 одинаковых клеток, и две из них покрасили в синий цвет, а остальные клетки остались белыми. Сколько существует таких раскрасок, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются за одну?

Источники: Бельчонок - 2020, 11.4 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала поймём, сколько всего существует способов раскрасить в синий 2 клетки на поле. Ведь это же можно легко посчитать! Действительно, количество способов равно 25 × 24 / 2 = 300.

Подсказка 2

Теперь давайте подумаем, сколько из этих раскрасок являются центрально-симметричными. Для того, чтобы раскраска была центрально-симметричной, необходимо выбрать любую клетку поля, отличную от центральной, и ей будет соответствовать одна симметричная. Получается, что таких раскрасок целых 12 штук!

Подсказка 3

Чтобы решить задачу, необходимо учесть подсказки 1 и 2, а также понять, сколько раскрасок можно получить поворотом из центрально-симметричных и не являющихся центрально-симметричными.

Показать ответ и решение

Всего способов выбрать две синие клетки $C2 = 25⋅24-=300. 25 2$ Если выбранные клетки симметричны относительно центра, то из такой раскраски можно получить еще ровно одну (поворотом на $∘ 90$ ). Чтобы построить такую раскраску, достаточно выбрать любую из $24$ не центральных клеток, а вторая определяется однозначно). Итого $24 2 = 12$ раскрасок.

Остальных раскрасок $300− 12 =288,$ из каждой такой раскраски можно поворотом на $∘ 90$ получить еще 3 раскраски. Таким образом, число раскрасок, различных при поворотах, равно $12- 288- 2 + 4 = 78.$

Ответ: