Неравенства на Бельчонке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны 50 неотрицательных чисел 
Сумма первых 48 чисел не превышает 50, и сумма двух последних также не
превышает 50. Найдите максимальное возможное значение суммы квадратов этих чисел 
и укажите все
последовательности чисел, для которых этот максимум достигается.
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем оценить как-то один из одночленов. Удобно оценить a₅₀. Действительно а₅₀ ≤ 50 - a₄₉. Теперь необходимо дать оценку на сумму квадратов, также удобно использовать, что сумма всех чисел не превышает 100.
Подсказка 2
Давайте учтём 2 ограничения из предыдущей подсказки и немного преобразуем наше неравенство. Надо постараться разложить полученное выражение на множители. Ага! Мы получили хорошую оценку на сумму квадратов, теперь надо понять, когда она достигается.
Подсказка 3
Давайте рассмотрим случай, когда может достигаться максимум. Необходимо, чтобы какое-то количество переменных обнулилось, а остальные равнялись какому-то одному числу. Находим 2 подходящих варианта и доказываем, почему другие подойти не могут.
Из условия следует, что 
и 
Тогда
Поскольку все выражения в скобках неположительны, максимальное значение 
не превышает 
и максимум достигается, когда все
слагаемые, начиная со второго, обращаются в 
а ограничение 
выполняется как равенство. Заметим, что если все
выражения в скобках одновременно равны 
то максимум не достигается. Пусть 
Если
получаем последовательность 
для которой достигается максимум 
Если 
получаем соответственно
последовательности 
и 
для которых максимум не достигается. Если 
получаем
последовательность 
для которой достигается максимум 
При 
нарушаются ограничения
но сумма первых 
чисел не превышает 
значит, среди них может быть не больше двух
элементов, равных 
достигается на 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
