Тема Бельчонок

Неравенства на Бельчонке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#129922Максимум баллов за задание: 7

Федя записал дробь $4-, 11$ Лена записала дробь $7-, 19$ а Даня записал дробь $a, b$ которая находится в интервале $(4-; 7). 1119$ Каково наименьшее возможное значение $b?$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 10.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите принадлежность числа интервалу при помощи неравенства.

Подсказка 2

Удобно ли работать с двойным неравенством?

Подсказка 3

С двумя отдельными неравенствами явно приятнее работать. Кроме того, давайте сделаем их еще более "приятными": оставьте в одной их частей каждого неравенства 0.

Подсказка 4

Как можно воспользоваться тем, что а и b — целые числа?

Подсказка 5

Нет дробей — нет проблем. Чем нам может помочь знак неравенств?

Подсказка 6

Если целое число больше 0, то какое наименьшее значение оно может принимать? С учетом этого можно получить два нестрогих неравенства.

Подсказка 7

А теперь давайте вернемся к двум неравенствам вида "выражение" > 0. И там, и там есть некоторый повторяющийся элемент. Что можно сделать с двумя отдельными неравенствами в этом случае?

Подсказка 8

Конечно, сложить их! Разве тогда сумма не определится однозначно? Кроме того, с помощью полученных ранее оценок можно оценить пары соответствующих разностей.

Подсказка 9

Если числитель дроби не меньше некоторого значения, то какие значения может принимать сама дробь?

Подсказка 10

Вы знаете, чему равна сумма и меньше какого значения она быть не может. Осталось оценить b и подобрать соответствующее ему а. Не забудьте проверить, что действительно можно получить дробь в нужном диапазоне и мы ничего не упустили!

Показать ответ и решение

Из условия

4- a 7- 11 < b < 19

получаем

11a− 4b> 0 и 7b− 19a> 0

Учитывая, что мы работаем с целыми числами, эти условия принимают вид

11a− 4b≥ 1 и 7b− 19a≥ 1

Рассмотрим разность

7-− 4-= -1-= 7-− a+ a − 4-= 7b− 19a+ 11a−-4b ≥ 1-+-1-= -30- 19 11 209 19 b b 11 19b 11b 19b 11b 209b

Получаем условие на $b:$

-1- ≥-30- 209 209b

b≥ 30

При $b= 30$ и $a= 11$ получаем дробь, удовлетворяющую условию.

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#137267Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,y,z$ таковы, что $xy+yz+ xz = 5xyz.$ Найдите наименьшее значение выражения $x+ y+z.$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 1, 10.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана связь между суммой попарных произведений и произведением трех чисел. Как это можно переформулировать?

Подсказка 2

Можем сказать, что мы знаем, чему равна сумма чисел, обратных к данным нам. А как ее связать с суммой исходных?

Подсказка 3

Попробуйте посмотреть на (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z).

Подсказка 4

Осталось выразить (x + y + z) и понять, когда неравенство обращается в равенство.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По условию

xy+ yz+ xz =5xyz

Положим $a= 3x, 5$ $b= 3y, 5$ $c= 3z. 5$ Тогда

9- 27- 25(ab+ bc+ ac)= 25abc

Отсюда

1 1 1 a + b + c = 3

Поэтому

3 3 ( 1 1 1 ) 3 9 x+y +z = 5(a+ b+ c)= 5 a+ a + b+ b + c+ c − 3 ≥ 5(6− 3)= 5

В предпоследнем переходе мы использовали неравенство Коши для среднего арифметического и среднего геометрического, которое обращается в равенство при $a= b= c=1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что для любых положительных чисел $x$ , $y$ и $z$ имеет место неравенство

( ) (x +y +z) 1 + 1+ 1 ≥9 x y z

которое при $x= y = z$ обращается в равенство. Действительно, раскрывая скобки, поскольку сумма в каждой скобке не меньше 2, мы получим

(x+ y+z)( 1+ 1+ 1) = 3+( x+ y) +( y+ z) +( z+ x)≥ 9 x y z y x z y x z

Тогда

9 9 9 x+y +z ≥-1+-1+-1 = xy+yz+xz= 5 x y z xyz

Осталось заметить, что числа $x =y =z = 3 5$ удовлетворяют условию задачи и обращают неравенство в равенство.

Ответ:

$9 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#137272Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x,$ $y,$ $z$ и $t$ найдите минимальное значение выражения

( 1)3 ( 1)3 ( 1)3 ( 1)3 N = x+ y + y +z + z+ t + t+ x

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 4, 10.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно найти минимальное значение выражения. Это намек, что можно применить какие-то известные нам неравенства!

Подсказка 2

Применим неравенство о средних для каждой скобки по отдельности. Что можно сделать далее?

Подсказка 3

А что, если применить неравенство о средних еще раз?

Подсказка 4

В неравенстве о средних равенство достигается при равных числах. Помним, что мы дважды применили неравенство!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся неравенством о средних в каждой скобке:

( ∘ -)3 ( ∘ -)3 ( ∘ -)3 ( ∘ -)3 N ≥ 2 x + 2 y + 2 z + 2 t =M y z t x

Теперь применим неравенство о средних для полученной суммы $M :$

(x y z t)38 M ≥ 32⋅ y ⋅z ⋅t ⋅x =32

Равенство достигается при $x= y =z = t= 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Воспользуемся неравенством $a3+b3 ≥ 14 ⋅(a+ b)3,$ верным для $a,b> 0.$ Применяя его трижды, получим

a3+b3+ c3+d3 ≥((a +b)3+(c+ d)3)≥ 1-⋅(a+b +c+ d)3 16

Данное неравенство верно для $a,b,c,d> 0.$ Тогда

-1 ( 1 1 1 1)3 N ≥ 16 ⋅ x + y + y+ z + z+ t + t+ x = M

По неравенству о средних

( ∘ ----------------)3 M ≥ 1-⋅ 88⋅ x⋅ 1⋅y⋅ 1 ⋅z⋅ 1⋅t⋅ 1 16 x y z t

83 M ≥ 16 = 32

Равенство достигается при $x= y =z = t= 1.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69401Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x,y,z$ докажите неравенство

---z2--- ---x2--- ---y2--- ---xy---- --yz---- ---zx--- x +y+ 2z + 2x+ y+ z + x+ 2y+z ≥ x+ y+2z + 2x +y+ z + x +2y+ z

Источники: Бельчонок-2023, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем всё из правой части неравенства в левую и сложим всё, что имеет одинаковые знаменатели. Получаем в левой части неравенства сумму трех очень похожих дробей, а в правой - ноль. Когда имеется такая конструкция, то часто бывает полезным подумать, как можно оценить каждую дробь по отдельности. К тому же, зачастую, если понять, как оценить одну дробь, то мы сразу будем знать, как оценить и остальные.

Подсказка 2

Рассмотрим дробь (z² - xy) / (x + y + 2z). Когда мы говорим про оценки в неравенствах, то в первую очередь в голову приходят неравенства о средних. В этой дроби мы можем много что оценить, знаменатель или числитель целиком, но давайте воспользуемся неравенством средних для xy, чтобы в числителе получить разность квадратов.

Подсказка 3

Раскрыв в числителе разность квадратов, мы можем сократить равные скобки в числителе и в знаменателе и получить оценку на дробь. Аналогично поступим для каждой дроби. Что теперь мы можем сказать про сумму трех дробей?

Показать доказательство

Неравенство из условия равносильно

-z2-− xy- -x2−-yz- -y2−-xz- x+y +2z +2x+ y+ z + x+ 2y+ z ≥ 0

По неравенству о средних $xy ≤(x+2y)2,$ отсюда после применения формулы разности квадратов имеем

2 -z-−-xy--≥ (2z−-x−-y)(2z+-x+-y)-= 2z-− x-− y x+ y+ 2z 4(2z+ x+ y) 4

Аналогично оцениваем два других слагаемых и получаем, что

-z2−-xy-+ -x2−-yz-+ -y2− xz-≥ x+ y+ 2z 2x+ y+ z x+ 2y +z

2z− x− y 2y− z− x 2x− y− z ≥ ----4---+ ---4----+ ---4----= 0

мы доказали треубемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#69406Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $a,b,c> 0$ и $a+ b+c= 1.$ Докажите, что

-----a----- -----b----- -----c----- 3 3a2+ b2+ 2ca + 3b2+ c2+ 2ab +3c2+ a2+2bc ≤ 2

Источники: Бельчонок-2023, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы бегло посмотрим на условие, то сразу поймем, что приводить к общему знаменателю здесь это очень плохой вариант. В таких случаях бывает полезно оценить каждое слагаемое по отдельности. К тому же мы видим, что они достаточно похожи, возможно, придумав, как оценить одну дробь, мы сразу поймем, как оценить остальные.

Подсказка 2

Давайте внимательно посмотрим на первую дробь. Понятно, что с числителем тут ничего не сделаешь. А вот в знаменателе у нас есть тут целых два квадрата, стоит попытаться выделить полный квадрат. Подумайте, как нам может в этом помочь условие, что a+b+c=1.

Подсказка 3

Давайте в выражении 3a²+b²+2ac представим 3a² как a² + 2a², тогда можно будет вынести общий множитель из 2ac и 2a². Что можно подставить вместо a+c и как при этом будет выглядеть оценка на 3a²+b²+2ac?

Подсказка 4

Если вместо (a+c) подставить (1-b), то после выделения полного квадрата станет понятно, что 3a²+b²+2ac >= 2a. Используя это знание, оцените всю дробь целиком, остальные дроби суммы и саму сумму.

Показать доказательство

Так как $a+ c= 1− b,$ то $3a2+ b2 +2ca= a2+b2+ 2a(1− b)=2a+ (a− b)2 ≥ 2a.$ Следовательно,

----a------ 1 3a2+ b2+ 2ca ≤2

Аналогично

b 1 c 1 3b2+-c2+2ab ≤ 2; 3c2-+a2+-2bc-≤ 2

Сложив три полученных неравенства, получим

-----a-----+ -----b-----+-----c-----≤ 1+ 1 + 1= 3 3a2+ b2+ 2ca 3b2 +c2+ 2ab 3c2+ a2+2bc 2 2 2 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74649Максимум баллов за задание: 7

На отрезке $[2;5]$ выбрали три разные точки, для каждой точки перемножили расстояния до двух других точек, получили положительные числа $a,b,c.$ Докажите, что

1 1 1 8 a +b + c ≥ 9

Источники: Бельчонок-2022, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой-то странный у нас отрезок - [2;5]. Быть может, мы сможем его как-то улучшить? Попробуем также расписать выражение из условия с помощью выбранных на отрезке чисел и как-нибудь оценить.

Подсказка 2

[2;5] можно сдвинуть до отрезка [0;3]. Попробуем выразить знаменатель каждой дроби через x, y, z. Теперь можем оценить сумму дробей, увеличив знаменатели. Но как именно?

Подсказка 3

Попробуем "сдвинуть" границы нашего отрезка: x к нулю, а z к 3. Уменьшатся ли знаменатели?

Показать доказательство

Переместим отрезок в точку $0,$ то есть будем рассматривать отрезок $[0;3].$ Обозначим взятые точки $0≤ x< y < z ≤3.$ Тогда, т.к. $− x ≤0,z ≤ 3,$

1 1 1 1 1 1 a +-b + c = (y−-x)(z−-x) + (y−-x)(z−-y) + (z− y)(z-− x)

----1-----+ -----1---- +-----1---- ≥ -1-+ ---1-- +---1--- (y − x)(z − x) (y− x)(z− y) (z− y)(z− x) y⋅3 y(3− y) (3− y)⋅3

При замене $− x$ на 0, а $z$ на 3 все знаменатели увеличились, а обратные им величины уменьшились.

1 (1+ ---3-- +--1-- )= 3−-y+-3+-y= --2--- 3 y y(3− y) (3− y) 3y(3− y) y(3 − y)

Тогда

2 8 y(3-− y) ≥ 9 ⇔ (2y− 3)2 ≥0

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#73446Максимум баллов за задание: 7

Неотрицательные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

2 2 2 a +b + c +abc= 4

Докажите, что

0≤ ab+ bc+ ac− abc≤ 2

Источники: Бельчонок-2021, 8.5(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать доказательство

Заметим, что $a,b,c$ не могут быть все одновременно быть больше $1,$ это противоречило бы условию. Пусть, например, $a≤ 1.$ Запишем $ab+ bc +ac− abc= ab+ ac +bc(1− a).$ Очевидно, это выражение неотрицательно, и оценка снизу доказана.

Для доказательства оценки сверху рассмотрим три данных числа. Два из них не меньше $1$ или два из них не больше $1,$ пусть такие числа — это $b$ и $c.$ В любом случае $(1 − b)(1− c)≥0.$

В условии $2 2 2 a +b + c +abc= 4$ заменим $2 2 b +c$ на не большее выражение $2bc,$ получим неравенство $2 a +2bc+ abc≤ 4,$ или $2 bc(2+ a)≤ 4− a .$ После сокращения получаем $bc≤2 − a.$ Тогда

ab+ bc +ac− abc≤ ab+ 2− a +ac(1 − b)= 2− a(1− c)(1− b)≤ 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#103395Максимум баллов за задание: 7

Дана возрастающая положительная геометрическая прогрессия $b. n$ Известно, что $b + b − b − b =9. 4 3 2 1$ Докажите, что $b5+ b6 ≥36.$

Источники: Бельчонок - 2020, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз уж нам дана геометрическая прогрессия, давайте выразим первые её члены через q (знаменатель прогрессии) и b₁. Как тогда будет выглядеть равенство из условия?

Подсказка 2

В левой части равенства из условия можно вынести b₁, тогда в скобках можно воспользоваться суммой геометрической прогрессии! А что нам нужно доказать? Давайте запишем так же при помощи q и b₁.

Подсказка 3

То, выражение, которое нам нужно оценить, в q⁴ раз больше суммы из условия! Получается, мы можем перейти к неравенству для q ;)

Показать доказательство

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

(3 2 ) b1q + q − q − 1 = 9,

что равносильно соотношению

--9-- b1(q+1)= q2− 1.

Нам же требуется доказать, что

9q4 b6+ b5 = b1q4(q+ 1)= q2− 1-≥36.

По условию задачи $b2 = b1q > b1,$ значит, $q > 1.$ Таким образом, достаточно проверить неравенство

q4 ≥4 (q2− 1),

которое можно записать в виде тривиального неравенства

(q2− 2)2 ≥0.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126029Максимум баллов за задание: 7

Даны 50 неотрицательных чисел $a ≤ a ≤ ⋅⋅⋅≤ a ≤ a . 1 2 49 50$ Сумма первых 48 чисел не превышает 50, и сумма двух последних также не превышает 50. Найдите максимальное возможное значение суммы квадратов этих чисел $2 2 2 2 A =a1+ a2+ ⋅⋅⋅+a49+ a50,$ и укажите все последовательности чисел, для которых этот максимум достигается.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить как-то один из одночленов. Удобно оценить a₅₀. Действительно а₅₀ ≤ 50 - a₄₉. Теперь необходимо дать оценку на сумму квадратов, также удобно использовать, что сумма всех чисел не превышает 100.

Подсказка 2

Давайте учтём 2 ограничения из предыдущей подсказки и немного преобразуем наше неравенство. Надо постараться разложить полученное выражение на множители. Ага! Мы получили хорошую оценку на сумму квадратов, теперь надо понять, когда она достигается.

Подсказка 3

Давайте рассмотрим случай, когда может достигаться максимум. Необходимо, чтобы какое-то количество переменных обнулилось, а остальные равнялись какому-то одному числу. Находим 2 подходящих варианта и доказываем, почему другие подойти не могут.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что $a ≤50− a 50 49$ и $a + a +...+a + a ≤ 100. 1 2 49 50$ Тогда

2 2 2 2 2 2 2 2 A = a1 +a2+ ...+ a49+ a50 ≤ a1 +a2+ ...+ a49+ (50 − a49)=

2 2 2 2 2 2 2 2 = 50 + a1+ a2+...+2a49− 100a49 ≤50 + a1 +a2+ ...+ 2a49− (a1 +a2+ ...+ a49+ a50)a49 =

= 502+a (a − a )+a (a − a )+...+ a (a − a )+a (a − a ) 1 1 49 2 2 49 48 48 49 49 49 50

Поскольку все выражения в скобках неположительны, максимальное значение $A$ не превышает $502,$ и максимум достигается, когда все слагаемые, начиная со второго, обращаются в $0,$ а ограничение $a49+a50 ≤ 50$ выполняется как равенство. Заметим, что если все выражения в скобках одновременно равны $0,$ то максимум не достигается. Пусть $a1 =a2 = ...= ak = 0,ak+1 = ak+2 = ⋅⋅⋅= a50 =a.$ Если $k =49,$ получаем последовательность $(0,0,...,50),$ для которой достигается максимум $502.$ Если $k∈ {48,47},$ получаем соответственно последовательности $(0,0,...,0,25,25)$ и $(0,0,...,0,25,25,25),$ для которых максимум не достигается. Если $k= 46,$ получаем последовательность $(0,0,...,0,25,25,25,25),$ для которой достигается максимум $502.$ При $k< 46$ нарушаются ограничения $(a49 +a50 = 50,ak+1 = ak+2 =...=a50 = 25,$ но сумма первых $48$ чисел не превышает $50,$ значит, среди них может быть не больше двух элементов, равных $25).$

Ответ:

$502,$ достигается на $(0,0,...,50)$ и $(0,0,...,0,25,25,25,25)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126031Максимум баллов за задание: 7

Даны 30 действительных чисел $a (1 ≤i≤ 30), i$ удовлетворяющих условиям:

(| 0≤a ≤a ≤ ⋅⋅⋅≤ a ≤a { a +1a + 2⋅⋅⋅+ a ≤ 2930 30 |( 1 2 28 a29+ a30 ≤30

Найдите максимальное возможное значение суммы квадратов этих чисел $A = a2 +a2+ ⋅⋅⋅+ a2+ a2, 1 2 29 30$ и укажите все последовательности чисел, для которых этот максимум достигается.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать условия из системы и получить новую оценку.

Подсказка 2

Например, a₃₀ ≤ 30 - a₂₉. Примените это ко 2 неравенству системы.

Подсказка 3

Получится, что a₁ + a₂ + ... + a₃₀ ≤ 60. Тогда какую оценку можно получить для A?

Подсказка 4

С одной стороны, a₃₀ ≤ 30 - a₂₉, можно заменить a₃₀ на 30 - a₂₉. Раскройте скобки.

Подсказка 5

Теперь воспользуемся a₁ + a₂ + ... + a₃₀ ≤ 60. Приведите подобные слагаемые.

Подсказка 6

Получим следующее выражение: 30² + a₁(a₁ - a₂₉) + a₂(a₂ - a₂₉) + … + a₂₈(a₂₈ - a₂₉) + a₂₉(a₂₉ - a₃₀). Заметьте, что числа упорядочены по неубыванию.

Подсказка 7

Значит, все выражения в скобках неположительны. Какое максимальное А тогда возможно?

Подсказка 8

Максимальное значение A не превосходит 30². Когда такое возможно?

Подсказка 9

Когда все слагаемые, начиная со второго, равны 0, а ограничение a₂₉ + a₃₀ ≤ 30 обращается в равенство.

Подсказка 10

Если все выражения в скобках равны 0, то a₁ = a₂ = ... = a₃₀ ≤ 60/30 = 2. Какую оценку можно тогда написать для A?

Подсказка 11

А не превосходит 30 ⋅ 2² < 30², следовательно, максимум не достигается, поэтому сначала числа в последовательности будут равны 0, а начиная с некоторого k будут равны a. Рассмотрите возможные k.

Подсказка 12

Например, если k = 29, получим последовательность (0,0,...,0,30), для которой максимум в 30² достигается.

Подсказка 13

При k < 26 воспользуйтесь условием a₂₉ + a₃₀ = 30.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что

a30 ≤30− a29, a1 +a2+ ...+ a29+ a30 ≤60

Тогда

2 2 2 2 2 2 2 2 A = a1 +a2+ ...+ a29+ a30 ≤ a1 +a2+ ...+ a29+ (30 − a29)=

= 302+a2+ a2+ ...+ 2a2 − 60a29 1 2 29

Подставляя неравенство на сумму чисел, получаем

302 +a21+ a22+ ...+2a229− 60a29 ≤ 302+ a21+ a22 +...+ 2a229 − (a1+a2 +...+ a29+a30)a29,

что равно

302+ a1(a1− a29)+a2(a2− a29)+...+a28(a28− a29)+a29(a29− a30)

Так как числа упорядочены по неубыванию, то все выражения в скобках неположительны. Тогда максимальное значение $A$ не превосходит $302,$ и максимум достигается, когда все слагаемые, начиная со второго, равны $0,$ а ограничение $a29+ a30 ≤30$ обращается в равенство.

Если же все в выражения скобках будут равны нулю, то $a1 =a2 =...=a29 = a30 ≤ 6300 =2.$ $A$ в таком случае не превосходит $30⋅22 < 302.$ Максимум не достигается, поэтому сначала числа в последовательности будут равны нулю, а начиная с некоторого $k$ будут равны $a :$

a1 = a2 = ...= ak = 0, ak+1+...+a30 = a

Если $k= 29,$ получаем последовательность $(0,0,0,...,0,30),$ для которой максимум в $302$ достигается.

Если $k= 28$ или $k =27,$ то получаем $(0,0,0,...,0,15,15)$ и $(0,0,0,...,0,15,15,15),$ для которых максимум не достигается.

Если $k= 26,$ то получаем последовательность $(0,0,0,...,0,15,15,15,15),$ для которой достигается максимум в $302.$

Если $k< 26,$ то при условии $a29+a30 = 30,$ получаем, что последние $30 − k >4$ членов последовательности равны $15.$ Тогда сумма всех элементов будет больше 60 — противоречие с условием.

Ответ:

$302,$ последовательности $(0,0,...,30)$ и $(0,0,...,0,15,15,15,15).$