Тема Бельчонок

Неравенства на Бельчонке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69401

Для положительных чисел $x,y,z$ докажите неравенство

---z2--- ---x2--- ---y2--- ---xy---- --yz---- ---zx--- x +y+ 2z + 2x+ y+ z + x+ 2y+z ≥ x+ y+2z + 2x +y+ z + x +2y+ z

Источники: Бельчонок-2023, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем всё из правой части неравенства в левую и сложим всё, что имеет одинаковые знаменатели. Получаем в левой части неравенства сумму трех очень похожих дробей, а в правой - ноль. Когда имеется такая конструкция, то часто бывает полезным подумать, как можно оценить каждую дробь по отдельности. К тому же, зачастую, если понять, как оценить одну дробь, то мы сразу будем знать, как оценить и остальные.

Подсказка 2

Рассмотрим дробь (z² - xy) / (x + y + 2z). Когда мы говорим про оценки в неравенствах, то в первую очередь в голову приходят неравенства о средних. В этой дроби мы можем много что оценить, знаменатель или числитель целиком, но давайте воспользуемся неравенством средних для xy, чтобы в числителе получить разность квадратов.

Подсказка 3

Раскрыв в числителе разность квадратов, мы можем сократить равные скобки в числителе и в знаменателе и получить оценку на дробь. Аналогично поступим для каждой дроби. Что теперь мы можем сказать про сумму трех дробей?

Показать доказательство

Неравенство из условия равносильно

-z2-− xy- -x2−-yz- -y2−-xz- x+y +2z +2x+ y+ z + x+ 2y+ z ≥ 0

По неравенству о средних $xy ≤(x+2y)2,$ отсюда после применения формулы разности квадратов имеем

2 -z-−-xy--≥ (2z−-x−-y)(2z+-x+-y)-= 2z-− x-− y x+ y+ 2z 4(2z+ x+ y) 4

Аналогично оцениваем два других слагаемых и получаем, что

-z2−-xy-+ -x2−-yz-+ -y2− xz-≥ x+ y+ 2z 2x+ y+ z x+ 2y +z

2z− x− y 2y− z− x 2x− y− z ≥ ----4---+ ---4----+ ---4----= 0

мы доказали треубемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69406

Известно, что $a,b,c> 0$ и $a+ b+c= 1.$ Докажите, что

-----a----- -----b----- -----c----- 3 3a2+ b2+ 2ca + 3b2+ c2+ 2ab +3c2+ a2+2bc ≤ 2

Источники: Бельчонок-2023, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы бегло посмотрим на условие, то сразу поймем, что приводить к общему знаменателю здесь это очень плохой вариант. В таких случаях бывает полезно оценить каждое слагаемое по отдельности. К тому же мы видим, что они достаточно похожи, возможно, придумав, как оценить одну дробь, мы сразу поймем, как оценить остальные.

Подсказка 2

Давайте внимательно посмотрим на первую дробь. Понятно, что с числителем тут ничего не сделаешь. А вот в знаменателе у нас есть тут целых два квадрата, стоит попытаться выделить полный квадрат. Подумайте, как нам может в этом помочь условие, что a+b+c=1.

Подсказка 3

Давайте в выражении 3a²+b²+2ac представим 3a² как a² + 2a², тогда можно будет вынести общий множитель из 2ac и 2a². Что можно подставить вместо a+c и как при этом будет выглядеть оценка на 3a²+b²+2ac?

Подсказка 4

Если вместо (a+c) подставить (1-b), то после выделения полного квадрата станет понятно, что 3a²+b²+2ac >= 2a. Используя это знание, оцените всю дробь целиком, остальные дроби суммы и саму сумму.

Показать доказательство

Так как $a+ c= 1− b,$ то $3a2+ b2 +2ca= a2+b2+ 2a(1− b)=2a+ (a− b)2 ≥ 2a.$ Следовательно,

----a------ 1 3a2+ b2+ 2ca ≤2

Аналогично

b 1 c 1 3b2+-c2+2ab ≤ 2; 3c2-+a2+-2bc-≤ 2

Сложив три полученных неравенства, получим

-----a-----+ -----b-----+-----c-----≤ 1+ 1 + 1= 3 3a2+ b2+ 2ca 3b2 +c2+ 2ab 3c2+ a2+2bc 2 2 2 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74649

На отрезке $[2;5]$ выбрали три разные точки, для каждой точки перемножили расстояния до двух других точек, получили положительные числа $a,b,c.$ Докажите, что

1 1 1 8 a +b + c ≥ 9

Источники: Бельчонок-2022, 11.3 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой-то странный у нас отрезок - [2;5]. Быть может, мы сможем его как-то улучшить? Попробуем также расписать выражение из условия с помощью выбранных на отрезке чисел и как-нибудь оценить.

Подсказка 2

[2;5] можно сдвинуть до отрезка [0;3]. Попробуем выразить знаменатель каждой дроби через x, y, z. Теперь можем оценить сумму дробей, увеличив знаменатели. Но как именно?

Подсказка 3

Попробуем "сдвинуть" границы нашего отрезка: x к нулю, а z к 3. Уменьшатся ли знаменатели?

Показать доказательство

Переместим отрезок в точку $0,$ то есть будем рассматривать отрезок $[0;3].$ Обозначим взятые точки $0≤ x< y < z ≤3.$ Тогда, т.к. $− x ≤0,z ≤ 3,$

1 1 1 1 1 1 a +-b + c = (y−-x)(z−-x) + (y−-x)(z−-y) + (z− y)(z-− x)

----1-----+ -----1---- +-----1---- ≥ -1-+ ---1-- +---1--- (y − x)(z − x) (y− x)(z− y) (z− y)(z− x) y⋅3 y(3− y) (3− y)⋅3

При замене $− x$ на 0, а $z$ на 3 все знаменатели увеличились, а обратные им величины уменьшились.

1 (1+ ---3-- +--1-- )= 3−-y+-3+-y= --2--- 3 y y(3− y) (3− y) 3y(3− y) y(3 − y)

Тогда

2 8 y(3-− y) ≥ 9 ⇔ (2y− 3)2 ≥0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73446

Неотрицательные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

2 2 2 a +b + c +abc= 4

Докажите, что

0≤ ab+ bc+ ac− abc≤ 2

Источники: Бельчонок-2021, 8.5(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать доказательство

Заметим, что $a,b,c$ не могут быть все одновременно быть больше $1,$ это противоречило бы условию. Пусть, например, $a≤ 1.$ Запишем $ab+ bc +ac− abc= ab+ ac +bc(1− a).$ Очевидно, это выражение неотрицательно, и оценка снизу доказана.

Для доказательства оценки сверху рассмотрим три данных числа. Два из них не меньше $1$ или два из них не больше $1,$ пусть такие числа — это $b$ и $c.$ В любом случае $(1 − b)(1− c)≥0.$

В условии $2 2 2 a +b + c +abc= 4$ заменим $2 2 b +c$ на не большее выражение $2bc,$ получим неравенство $2 a +2bc+ abc≤ 4,$ или $2 bc(2+ a)≤ 4− a .$ После сокращения получаем $bc≤2 − a.$ Тогда

ab+ bc +ac− abc≤ ab+ 2− a +ac(1 − b)= 2− a(1− c)(1− b)≤ 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#103395

Дана возрастающая положительная геометрическая прогрессия $b. n$ Известно, что $b + b − b − b =9. 4 3 2 1$ Докажите, что $b5+ b6 ≥36.$

Источники: Бельчонок - 2020, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз уж нам дана геометрическая прогрессия, давайте выразим первые её члены через q (знаменатель прогрессии) и b₁. Как тогда будет выглядеть равенство из условия?

Подсказка 2

В левой части равенства из условия можно вынести b₁, тогда в скобках можно воспользоваться суммой геометрической прогрессии! А что нам нужно доказать? Давайте запишем так же при помощи q и b₁.

Подсказка 3

То, выражение, которое нам нужно оценить, в q⁴ раз больше суммы из условия! Получается, мы можем перейти к неравенству для q ;)

Показать доказательство

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

(3 2 ) b1q + q − q − 1 = 9,

что равносильно соотношению

--9-- b1(q+1)= q2− 1.

Нам же требуется доказать, что

9q4 b6+ b5 = b1q4(q+ 1)= q2− 1-≥36.

По условию задачи $b2 = b1q > b1,$ значит, $q > 1.$ Таким образом, достаточно проверить неравенство

q4 ≥4 (q2− 1),

которое можно записать в виде тривиального неравенства

(q2− 2)2 ≥0.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126029

Даны 50 неотрицательных чисел $a ≤ a ≤ ⋅⋅⋅≤ a ≤ a . 1 2 49 50$ Сумма первых 48 чисел не превышает 50, и сумма двух последних также не превышает 50. Найдите максимальное возможное значение суммы квадратов этих чисел $2 2 2 2 A =a1+ a2+ ⋅⋅⋅+a49+ a50,$ и укажите все последовательности чисел, для которых этот максимум достигается.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить как-то один из одночленов. Удобно оценить a₅₀. Действительно а₅₀ ≤ 50 - a₄₉. Теперь необходимо дать оценку на сумму квадратов, также удобно использовать, что сумма всех чисел не превышает 100.

Подсказка 2

Давайте учтём 2 ограничения из предыдущей подсказки и немного преобразуем наше неравенство. Надо постараться разложить полученное выражение на множители. Ага! Мы получили хорошую оценку на сумму квадратов, теперь надо понять, когда она достигается.

Подсказка 3

Давайте рассмотрим случай, когда может достигаться максимум. Необходимо, чтобы какое-то количество переменных обнулилось, а остальные равнялись какому-то одному числу. Находим 2 подходящих варианта и доказываем, почему другие подойти не могут.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что $a ≤50− a 50 49$ и $a + a +...+a + a ≤ 100. 1 2 49 50$ Тогда

2 2 2 2 2 2 2 2 A = a1 +a2+ ...+ a49+ a50 ≤ a1 +a2+ ...+ a49+ (50 − a49)=

2 2 2 2 2 2 2 2 = 50 + a1+ a2+...+2a49− 100a49 ≤50 + a1 +a2+ ...+ 2a49− (a1 +a2+ ...+ a49+ a50)a49 =

= 502+a (a − a )+a (a − a )+...+ a (a − a )+a (a − a ) 1 1 49 2 2 49 48 48 49 49 49 50

Поскольку все выражения в скобках неположительны, максимальное значение $A$ не превышает $502,$ и максимум достигается, когда все слагаемые, начиная со второго, обращаются в $0,$ а ограничение $a49+a50 ≤ 50$ выполняется как равенство. Заметим, что если все выражения в скобках одновременно равны $0,$ то максимум не достигается. Пусть $a1 =a2 = ...= ak = 0,ak+1 = ak+2 = ⋅⋅⋅= a50 =a.$ Если $k =49,$ получаем последовательность $(0,0,...,50),$ для которой достигается максимум $502.$ Если $k∈ {48,47},$ получаем соответственно последовательности $(0,0,...,0,25,25)$ и $(0,0,...,0,25,25,25),$ для которых максимум не достигается. Если $k= 46,$ получаем последовательность $(0,0,...,0,25,25,25,25),$ для которой достигается максимум $502.$ При $k< 46$ нарушаются ограничения $(a49 +a50 = 50,ak+1 = ak+2 =...=a50 = 25,$ но сумма первых $48$ чисел не превышает $50,$ значит, среди них может быть не больше двух элементов, равных $25).$

Ответ:

$502,$ достигается на $(0,0,...,50)$ и $(0,0,...,0,25,25,25,25)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126031

Даны 30 действительных чисел $a (1 ≤i≤ 30), i$ удовлетворяющих условиям:

(| 0≤a ≤a ≤ ⋅⋅⋅≤ a ≤a { a +1a + 2⋅⋅⋅+ a ≤ 2930 30 |( 1 2 28 a29+ a30 ≤30

Найдите максимальное возможное значение суммы квадратов этих чисел $A = a2 +a2+ ⋅⋅⋅+ a2+ a2, 1 2 29 30$ и укажите все последовательности чисел, для которых этот максимум достигается.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать условия из системы и получить новую оценку.

Подсказка 2

Например, a₃₀ ≤ 30 - a₂₉. Примените это ко 2 неравенству системы.

Подсказка 3

Получится, что a₁ + a₂ + ... + a₃₀ ≤ 60. Тогда какую оценку можно получить для A?

Подсказка 4

С одной стороны, a₃₀ ≤ 30 - a₂₉, можно заменить a₃₀ на 30 - a₂₉. Раскройте скобки.

Подсказка 5

Теперь воспользуемся a₁ + a₂ + ... + a₃₀ ≤ 60. Приведите подобные слагаемые.

Подсказка 6

Получим следующее выражение: 30² + a₁(a₁ - a₂₉) + a₂(a₂ - a₂₉) + … + a₂₈(a₂₈ - a₂₉) + a₂₉(a₂₉ - a₃₀). Заметьте, что числа упорядочены по неубыванию.

Подсказка 7

Значит, все выражения в скобках неположительны. Какое максимальное А тогда возможно?

Подсказка 8

Максимальное значение A не превосходит 30². Когда такое возможно?

Подсказка 9

Когда все слагаемые, начиная со второго, равны 0, а ограничение a₂₉ + a₃₀ ≤ 30 обращается в равенство.

Подсказка 10

Если все выражения в скобках равны 0, то a₁ = a₂ = ... = a₃₀ ≤ 60/30 = 2. Какую оценку можно тогда написать для A?

Подсказка 11

А не превосходит 30 ⋅ 2² < 30², следовательно, максимум не достигается, поэтому сначала числа в последовательности будут равны 0, а начиная с некоторого k будут равны a. Рассмотрите возможные k.

Подсказка 12

Например, если k = 29, получим последовательность (0,0,...,0,30), для которой максимум в 30² достигается.

Подсказка 13

При k < 26 воспользуйтесь условием a₂₉ + a₃₀ = 30.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что

a30 ≤30− a29, a1 +a2+ ...+ a29+ a30 ≤60

Тогда

2 2 2 2 2 2 2 2 A = a1 +a2+ ...+ a29+ a30 ≤ a1 +a2+ ...+ a29+ (30 − a29)=

= 302+a2+ a2+ ...+ 2a2 − 60a29 1 2 29

Подставляя неравенство на сумму чисел, получаем

302 +a21+ a22+ ...+2a229− 60a29 ≤ 302+ a21+ a22 +...+ 2a229 − (a1+a2 +...+ a29+a30)a29,

что равно

302+ a1(a1− a29)+a2(a2− a29)+...+a28(a28− a29)+a29(a29− a30)

Так как числа упорядочены по неубыванию, то все выражения в скобках неположительны. Тогда максимальное значение $A$ не превосходит $302,$ и максимум достигается, когда все слагаемые, начиная со второго, равны $0,$ а ограничение $a29+ a30 ≤30$ обращается в равенство.

Если же все в выражения скобках будут равны нулю, то $a1 =a2 =...=a29 = a30 ≤ 6300 =2.$ $A$ в таком случае не превосходит $30⋅22 < 302.$ Максимум не достигается, поэтому сначала числа в последовательности будут равны нулю, а начиная с некоторого $k$ будут равны $a :$

a1 = a2 = ...= ak = 0, ak+1+...+a30 = a

Если $k= 29,$ получаем последовательность $(0,0,0,...,0,30),$ для которой максимум в $302$ достигается.

Если $k= 28$ или $k =27,$ то получаем $(0,0,0,...,0,15,15)$ и $(0,0,0,...,0,15,15,15),$ для которых максимум не достигается.

Если $k= 26,$ то получаем последовательность $(0,0,0,...,0,15,15,15,15),$ для которой достигается максимум в $302.$

Если $k< 26,$ то при условии $a29+a30 = 30,$ получаем, что последние $30 − k >4$ членов последовательности равны $15.$ Тогда сумма всех элементов будет больше 60 — противоречие с условием.

Ответ:

$302,$ последовательности $(0,0,...,30)$ и $(0,0,...,0,15,15,15,15).$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания