Неравенства на Бельчонке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны 30 действительных чисел 
удовлетворяющих условиям:
Найдите максимальное возможное значение суммы квадратов этих чисел 
и укажите все
последовательности чисел, для которых этот максимум достигается.
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте преобразовать условия из системы и получить новую оценку.
Подсказка 2
Например, a₃₀ ≤ 30 - a₂₉. Примените это ко 2 неравенству системы.
Подсказка 3
Получится, что a₁ + a₂ + ... + a₃₀ ≤ 60. Тогда какую оценку можно получить для A?
Подсказка 4
С одной стороны, a₃₀ ≤ 30 - a₂₉, можно заменить a₃₀ на 30 - a₂₉. Раскройте скобки.
Подсказка 5
Теперь воспользуемся a₁ + a₂ + ... + a₃₀ ≤ 60. Приведите подобные слагаемые.
Подсказка 6
Получим следующее выражение: 30² + a₁(a₁ - a₂₉) + a₂(a₂ - a₂₉) + … + a₂₈(a₂₈ - a₂₉) + a₂₉(a₂₉ - a₃₀). Заметьте, что числа упорядочены по неубыванию.
Подсказка 7
Значит, все выражения в скобках неположительны. Какое максимальное А тогда возможно?
Подсказка 8
Максимальное значение A не превосходит 30². Когда такое возможно?
Подсказка 9
Когда все слагаемые, начиная со второго, равны 0, а ограничение a₂₉ + a₃₀ ≤ 30 обращается в равенство.
Подсказка 10
Если все выражения в скобках равны 0, то a₁ = a₂ = ... = a₃₀ ≤ 60/30 = 2. Какую оценку можно тогда написать для A?
Подсказка 11
А не превосходит 30 ⋅ 2² < 30², следовательно, максимум не достигается, поэтому сначала числа в последовательности будут равны 0, а начиная с некоторого k будут равны a. Рассмотрите возможные k.
Подсказка 12
Например, если k = 29, получим последовательность (0,0,...,0,30), для которой максимум в 30² достигается.
Подсказка 13
При k < 26 воспользуйтесь условием a₂₉ + a₃₀ = 30.
Из условия следует, что
Тогда
Подставляя неравенство на сумму чисел, получаем
что равно
Так как числа упорядочены по неубыванию, то все выражения в скобках неположительны. Тогда максимальное значение 
не
превосходит 
и максимум достигается, когда все слагаемые, начиная со второго, равны 
а ограничение 
обращается в
равенство.
Если же все в выражения скобках будут равны нулю, то 
в таком случае не превосходит
Максимум не достигается, поэтому сначала числа в последовательности будут равны нулю, а начиная с некоторого 
будут
равны 
Если 
получаем последовательность 
для которой максимум в 
достигается.
Если 
или 
то получаем 
и 
для которых максимум не достигается.
Если 
то получаем последовательность 
для которой достигается максимум в 
Если 
то при условии 
получаем, что последние 
членов последовательности равны 
Тогда сумма
всех элементов будет больше 60 — противоречие с условием.
последовательности 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
