Теория чисел на Бельчонке

Очевидно, что является решением уравнения. Если же и ненулевые числа, то у них есть НОД, обозначим его за Пусть тогда уравнение принимает вид

Правая часть этого уравнения делится на значит, и левая должна делиться на то есть должно делиться на Так как и взаимно просты, должно делиться на Пусть

Так как правая часть уравнения делится на левая часть также должна делиться на то есть делится на Пусть

Отсюда видим, что также должно делиться на пусть

Отсюда получаем, что делится на Но также делится на значит, для выполнения условия взаимной простоты чисел и должно равняться Подставляя это в уравнение, получаем

Но двух ненулевых пятых степеней, отличающихся на единицу, не существует, так что единственное решение —