Теория чисел на Бельчонке
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите в целых числах уравнение
Источники:
Подсказка 1
Какое есть самое особенное целое число? Стоит посмотреть, что будет, если х и у принимают именно это значение.
Подсказка 2
Что будет, если х=0? А если у=0?
Подсказка 3
Теперь, когда рассмотрели "нулевой" случай, вспомним, что должно выполняться, чтобы уравнение в целых числах имело решение. Что должно быть верно и для х, и для у в нашем случае, чтобы нашлась целая пара х и у?
Подсказка 4
Раз справа 0, то слева у чисел обязательно будет общий делитель! Какой из всех делителей стоит выделить и что можно сделать с его помощью?
Подсказка 5
Что особенно в наибольшем общем делителе? Что хорошего выйдет, если сделать замену х и у относительно него?
Подсказка 6
Пусть d — наибольший общий делитель. И пусть x = d ⋅ x₁ и у = d ⋅ y₁. Как связаны х₁ и у₁ с точки зрения целых чисел? Попробуйте подставить эти x и y. Упростите новое уравнение.
Подсказка 7
Получилось очень много d. Что можно сделать? Кроме того, справа все еще 0. Что в нем особенного?
Подсказка 8
Если слева все слагаемые, кроме одного, содержат х₁, а справа стоит 0, то что можно сказать про оставшееся слагаемое?
Подсказка 9
х₁ и у₁ взаимно просты, значит, какой множитель будет кратен х₁?
Подсказка 10
Раз определили, что именно кратно х₁, то можно сделать еще одну замену! Проведите тот же анализ, но уже для другой переменной. Можем так продолжать, пока не упремся в условие взаимной простоте х₁ и у₁.
Подсказка 11
Пусть d = u ⋅ x₁. Если провести анализ относительно у₁, то выйдет, что именно u² кратно у₁. Какую другую переменную стоит взять, чтобы не появился "мешающийся" квадрат?
Подсказка 12
Пусть y₁ = k ⋅ u. По аналогии с у₁ получается делимость для k.
Подсказка 13
И для k = v ⋅ u получается, что х₁ делится на v! Но при каких условиях это может выполняться?
Подсказка 14
у₁ делится на v и x₁ делится на v. Какие значения может принимать v, если х₁ и у₁ взаимно просты?
Подсказка 15
Не только 1, но еще и -1 тоже. Попробуйте подставить это v в последнее полученное уравнение. Получится ли подобрать подходящие u и x₁?
Подсказка 16
Могут ли существовать две различных ненулевых пятых степени от целых чисел, отличающихся на 1?
Очевидно, что 
является решением уравнения. Если же 
и 
ненулевые числа, то у них есть НОД, обозначим его за 
Пусть
тогда уравнение принимает вид
Правая часть этого уравнения делится на 
значит, и левая должна делиться на 
то есть 
должно делиться на 
Так как
и 
взаимно просты, 
должно делиться на 
Пусть 
Так как правая часть уравнения делится на 
левая часть также должна делиться на 
то есть 
делится на 
Пусть
Отсюда видим, что 
также должно делиться на 
пусть 
Отсюда получаем, что 
делится на 
Но 
также делится на 
значит, для выполнения условия взаимной простоты
чисел 
и 
должно равняться 
Подставляя это в уравнение, получаем
Но двух ненулевых пятых степеней, отличающихся на единицу, не существует, так что единственное решение — 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
