Теория чисел на Бельчонке

Рассмотрим числа . По условию их сумма целая, их произведение равно — целое, сумма их попарных произведений равна — целая. Значит, мы можем составить приведённый многочлен с целыми коэффициентами и корнями :

Осталось заметить, что корни рациональны как отношения целых чисел. Если целочисленный многочлен имеет рациональный корень , то его старший коэффициент делится на . Поскольку наш многочлен приведённый, корни являются целыми.

Во-первых, покажем, что и взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число , а значит и делится на , но это не так.

Во-вторых, покажем, что и — точные кубы. Число — куб, — куб, значит и — куб. Если некоторое простое число входит в в степени , то оно либо входит в этой же степени в , а в — в нулевой, либо наоборот, так как . Таким образом, и — кубы, ведь все простые множители входят в них в степени.

Пусть , тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:

Зафиксируем и сравним с ней . Ясно, что , потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна. Перепишем равенство в виде:

Нетрудно видеть, что

То есть равенство возможно лишь когда , откуда . Притом эта пара является решением при любом натуральном .

Если число является палиндромом, то числа допускают нужное представление. Поэтому числа от до могут быть представлены нужным образом:

Если число двузначное и является палиндромом, то число также палиндром, и может быть представлено как . Например, если . Поскольку разность между соседними двузначными палиндромами равна , это означает, что все такие числа допускают нужное представление. Осталось рассмотреть числа вида , где — палиндром, то есть числа . Пусть число . Если и и двузначные палиндромы, тогда правая часть делится на , а левая нет. Значит, одно из слагаемых должно быть однозначным, то есть числом из набора . Но разность и любого числа из набора не кратна . Числа нельзя представить как сумму двух палиндромов.

Пусть — натуральное число. Тогда

Если не делится на , то делится на . Но в таком случае все члены равенства, кроме , делятся на , а делится только на , что невозможно. Значит, делится на , то есть для некоторого натурального числа . Имеем

откуда делится на или делится на .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть . Тогда

откуда делится на . Но в таком случае делится и на , то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда . Ясно, что число будет целым только при , при этом .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть . Тогда . Как и выше, отсюда следует, что делится на ,то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда делит , то есть . При получаем невозможные равенства

соответственно. При число , откуда — делитель , при этом

то есть . Следовательно, , и тогда .

Если то получим сравнение

где Но это сравнение невозможно ни при каком (проверку осуществляем с перебора остатков по модулю Значит,

1.

В случае имеем уравнение Если то При решений нет. Далее считаем Имеем и откуда для некоторого натурального Из равенства следует, что делится на 3 (иначе правая часть не будет делиться на 9). Тогда делится на Следовательно, делится на 7. Но тогда так что Однако что дает противоречие.

2.

Рассмотрим случай При из уравнения находим Пусть далее и, как следствие, Имеем Отсюда следует, что делится на 7. Это возможно только при условии Но тогда что приводит к противоречию.

Уравнение равносильно

Если то запишем эту пару в ответ.

Теперь рассмотрим Тогда это натуральное число и на него делится левая часть уравнения

А значит, для некоторого натурального числа

После подстановки и сокращения на получим уравнение:

Если снова посмотреть по модулю то есть разделить в столбик левую часть на натуральное число , то окажется, что число

должно быть целым.

Более того, поскольку это равносильно неравенству которое верно при

Действительно, если то что невозможно при

Таким образом, а значит,

При уравнение принимает вид что невозможно для

Если то число будет целым только при однако пара не удовлетворяет уравнению

При уравнение переписывается в виде Отсюда находим, что и затем

Обозначим . В числителе записано

На должно делиться

При модуль остатка меньше поэтому остаток не может делиться на ни при каком Уравнению удовлетворяет единственное значение

Легко проверить, что пары вида , где n – натуральное число, удовлетворяют условию задачи. Пусть – любая другая пара, удовлетворяющая условию задачи. Рассмотрим два случая.

1) Пусть сначала . Тогда , откуда , где . Очевидно, возможен лишь случай (по чётности), и тогда .

Осталось выяснить, при каких натуральных число будет точным квадратом. Пусть , тогда . Число под корнем должно быть точным квадратом: , т. е. .

Разложим на множители и рассмотрим системы. Учитывая, что и имеют одинаковую чётность, отбросим лишние, останутся системы:

откуда или , .

При значение и подходит . При значение и подойдет . Поскольку , получаем пары и .

2) Пусть теперь , т. е. . Здесь , и мы имеем . Значит, , где . Опять возможен только случай (по чётности), так что .

Пусть , тогда . Выше показано, что число под корнем является точным квадратом только при или . Тогда или . Получаем пары и , первая из которых входит в множество .

Заметим, что делится на НОК , который равен НОК и в свою очередь делится на . Также делится на НОК , а последнее выражение делится на , поэтому делится на . Значит, либо , либо . В первом случае получаем

следовательно, делится на . Таким образом, есть делитель 6 , откуда — увы, эта пара чисел не удовлетворяет уравнению. Во втором случае, получаем

Если кратно 3 , то левая часть делится на большую степень тройки, чем правая. Если кратно 3, то правая часть делится на большую степень тройки, чем левая. Если же дает при делении на 3 остаток 1 , то обе части равны . Итак, требуется найти количество натуральных чисел , таких что . Их ровно 111111.

Воспользуемся делимостью на 4, чтобы получить ограничение на значение . При имеем

Следовательно, Переберем возможные варианты и выберем те, при которых

Обозначим Заметим, что и делится на тогда и только тогда, когда делится на (*)

Аналогично и делится на тогда и только тогда, когда делится на (**) Запишем соотношение для :

Отсюда видно, что если — делитель то — делитель если — делитель и то — делитель , и так далее, то есть делитель для любого натурального

Будем искать упорядоченные тройки ( ), для которых выполняются условия (*) и (**), то есть и делятся на Пусть имеет простой делитель Тогда делится на , и в силу взаимной простоты ровно одно из чисел делится на . Но тогда не может делиться на , и значит, на . Пусть делится на , тогда делится на и в силу взаимной простоты ровно одно из чисел делится на тогда не может делиться на и значит, на . Пусть делится на , тогда делится на и ровно одно из чисел , делится на тогда нечётное и не может делиться на Следовательно, имеет вид где и принимают значения или при этом откуда Подходят тройки

Сумма числителя и знаменателя каждой дроби равна , то есть каждая дробь имеет вид , где – натуральное число, не превосходящее . Число будет целым, когда число - делитель .

Поскольку , где числа , и – простые, у числа будет делителей. И так как , может принимать одно из значений (все делители , кроме самого числа), чтобы дробь была целой.

Очевидно, что условию задачи не удовлетворяют.

Непосредственно проверяем, что удовлетворяет условию.

Далее считаем, что .

Если является простым делителем числа , то и наоборот: если — простой делитель числа , то . Итак, возьмем общий простой делитель чисел и . Имеем:

где и — натуральные числа. Тогда

и поэтому . Поскольку число простое, то . Мы установили, что

где и — натуральные числа, причём . Но из последних двух равенств следует, что

Итак, , что невозможно для .