Теория чисел на Бельчонке
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Наибольший общий делитель натуральных чисел 
и 
равен 
Известно, что 
Найдите 
и
Источники:
Подсказка 1
Как нам может помочь наибольший общий делитель при решении уравнения?
Подсказка 2
Введите замену через НОД: n = d·x, m = d·y.
Подсказка 3
Кажется, это тупик... Или нет? Можно ли сделать еще одну замену при помощи d?
Подсказка 4
Попробуйте посмотреть на делимость.
Подсказка 5
Докажите, что x делится на d. Введите k = x/d и проанализируйте делимость (k + 1) на y.
Подсказка 6
Попробуйте оценить d. Может ли оно быть равно 2?
Подсказка 7
Подставьте k = ay - 1, преобразуйте выражение и получите из него неравенство, предположив, что d ≥ 2.
Подсказка 8
Попробуйте получить противоречие с натуральностью x.
Подсказка 9
Рассмотрите d = 1. Какие целые решения имеет уравнение m² + 1 = n(m - 1)?
Подсказка 10
Для того, чтобы его решить, стоит подумать в сторону делимости.
Подсказка 11
Например, ясно, что m² + 1 делится на m - 1. Что из этого следует?
Подсказка 12
Докажите, что тогда и m + 1 делится на m - 1. Попробуйте поработать с этой делимостью.
Подсказка 13
Рассмотрите разность m-1 и m+1. Получается, что это число m+1 тоже делит! Дело осталось за малым, перебрать два значения m.
По условию 
где 
— натуральные взаимно простые числа. Тогда
Отсюда 
делится на 
Пусть 
Подставим в полученное уравнение:
Отсюда 
делится на 
Пусть 
то есть 
Подставляя, получаем
Если 
то 
следовательно,
Отсюда получаем 
Тогда 
Подставляя эти значения в равенство 
находим 
и 
Но
— натуральное число. Противоречие. Следовательно, 
то есть 
Уравнение
равносильно уравнению
Значит, 
делится на 
Тогда на 
делится и
Но это означает, что и
Следовательно, 
или 
то есть 
или 
При 
исходное уравнение превращается в
При 
имеем
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
