Теория чисел на Бельчонке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
в целых неотрицательных числах.
Источники:
Подсказка 1
Левая часть должна делиться на 7, а еще видно связь между 3^2a и 3^a, что тогда хочется сделать?
Подсказка 2
Хочется заменить 3^a на t и записать табличку остатков на t^2 + t + 2 по модулю 7^l. Тогда какие выводы мы сможем сделать относительно l?
Подсказка 3
l < 2! Остаётся разобрать 2 случая с l) Начнем с l = 0. У нас появляется уравнение относительно a и k, где одно из решений на "маленьких числах" угадывается. Далее попробуем оценить a и доказать, что при a >= 2 решений нет. Как это сделать?
Подсказка 4
При a >= 2 мы можем оценить k и найти остаток от деления на 3 числа 2^k. Теперь мы знаем, какое k, поэтому можем подставить это в изначальное уравнение. Какое уравнение у нас получается и какой вид будет иметь k?
Подсказка 5
k = 2m + 1, тогда мы приходим к уравнению вида 3^a(3^a + 1) = 2(4^m - 1), значит m делится на 3. Теперь мы можем оценить, на что делится 4^m - 1, тем самым сделав выводы о делителях 3^a + 1. Какие?
Подсказка 5
3^a + 1 делится на 7. Осталось лишь оценить a и прийти к противоречию с помощью сравнений по модулю) осталось лишь рассмотреть случай l = 1, что делается теми же идеями, что и случай l = 0)
Если 
то получим сравнение
где 
Но это сравнение невозможно ни при каком 
(проверку осуществляем с перебора остатков по модулю 
Значит,
- 1.
-
В случае
имеем уравнение 
Если 
то 
При 
решений нет. Далее считаем 
Имеем 
и 
откуда 
для некоторого натурального 
Из равенства 
следует, что 
делится на 3 (иначе правая часть не будет делиться на 9). Тогда 
делится на 
Следовательно, 
делится на 7. Но тогда 
так что 
Однако 
что дает противоречие.
- 2.
-
Рассмотрим случай
При 
из уравнения 
находим 
Пусть далее 
и, как
следствие, 
Имеем 
Отсюда следует, что 
делится на 7. Это
возможно только при условии 
Но тогда 
что приводит к противоречию.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
