Теория чисел на Бельчонке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары 
натуральных чисел, для которых оба числа 
являются точными квадратами.
Источники:
Подсказка 1
Давайте внимательно посмотрим на наши выражения. Нельзя ли сразу угадать какую-то пару чисел, удовлетворяющую условиям задачи. Пусть x равен какому-то натуральному n. Тогда какой должен быть y, чтобы первое выражение было квадратом?
Подсказка 2
Верно, тогда y=n+2. Можно проверить, что условие задачи выполняется. Что же делать теперь? Ведь y может быть больше или меньше x+2. Какую идею тогда здесь можно применить для дальнейшей оценки наших выражений, чтобы перебирать другие варианты было проще?
Подсказка 3
Да, можно попробовать зажать наши числа между квадратами. Если y < x+2, то первое выражение будет находиться между x² и (x+4)², и остаётся только вариант для (x+2)² = x² + 8y из-за чётности. Аналогично рассматривается, если y > x+2. Тут уже второе число зажимается между y² и (y-4)². Осталось только технически это всё реализовать и найти оставшиеся решения. Победа!
Легко проверить, что пары вида 
, где n – натуральное число, удовлетворяют условию задачи. Пусть 
– любая другая пара,
удовлетворяющая условию задачи. Рассмотрим два случая.
1) Пусть сначала 
. Тогда 
, откуда 
, где 
. Очевидно,
возможен лишь случай 
(по чётности), и тогда 
.
Осталось выяснить, при каких натуральных 
число 
будет точным квадратом. Пусть 
, тогда
. Число под корнем должно быть точным квадратом: 
, т. е. 
.
Разложим 
на множители и рассмотрим системы. Учитывая, что 
и 
имеют одинаковую чётность, отбросим лишние,
останутся системы:
откуда 
или 
, 
.
При 
значение 
и подходит 
. При 
значение 
и подойдет
. Поскольку 
, получаем пары 
и 
.
2) Пусть теперь 
, т. е. 
. Здесь 
, и мы имеем 
. Значит,
, где 
. Опять возможен только случай 
(по чётности), так что 
.
Пусть 
, тогда 
. Выше показано, что число под корнем является точным квадратом только при
или 
. Тогда 
или 
. Получаем пары 
и 
, первая из которых входит в множество
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
