Теория чисел на Бельчонке

Пусть — натуральное число. Тогда

Если не делится на , то делится на . Но в таком случае все члены равенства, кроме , делятся на , а делится только на , что невозможно. Значит, делится на , то есть для некоторого натурального числа . Имеем

откуда делится на или делится на .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть . Тогда

откуда делится на . Но в таком случае делится и на , то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда . Ясно, что число будет целым только при , при этом .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть . Тогда . Как и выше, отсюда следует, что делится на ,то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда делит , то есть . При получаем невозможные равенства

соответственно. При число , откуда — делитель , при этом

то есть . Следовательно, , и тогда .