Теория чисел на Бельчонке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество пар натуральных чисел 
, каждое из которых меньше миллиона, удовлетворяющих равенству
Источники:
Подсказка 1
Тут главное — вспомнить, что такое НОК! Это наименьшее общее кратное чисел, НОК(x, y) ⋮ x, ⋮ y. А нам хотелось бы наоборот понять, какими свойствами обладают числа a и b, можем ли записать какое-то выражение с их помощью, которое будет делиться на НОКи в левой и правой части?
Подсказка 2
Ага, можем записать произведение a(b+1) к примеру! Оно будет делиться на НОК(a, b+1), а на что ещё? Аналогично можно составить ещё одно произведение из правой части.
Подсказка 3
Выходит, что a(b + 1) ⋮ b, ⋮ (a+3), в каких случаях такое может быть? И ещё выходит, что b(a+3) ⋮ a, ⋮ (b+1). Разберите все возможные варианты и поймите, какими свойствами обладают a и b!
Подсказка 4
После того как определили, как а выражается через b, можно подставить это в изначальное равенство на НОКи и подумать, когда оно возможно. Так там будут встречаться тройки, можно подумать про этот модуль. И найти количество подходящих пар!
Заметим, что 
делится на НОК 
, который равен НОК 
и в свою очередь делится на 
. Также 
делится
на НОК 
, а последнее выражение делится на 
, поэтому 
делится на 
. Значит, либо 
, либо 
. В
первом случае получаем
следовательно, 
делится на 
. Таким образом, 
есть делитель 6 , откуда 
— увы, эта
пара чисел не удовлетворяет уравнению. Во втором случае, получаем
Если 
кратно 3 , то левая часть делится на большую степень тройки, чем правая. Если 
кратно 3, то правая часть делится на
большую степень тройки, чем левая. Если же 
дает при делении на 3 остаток 1 , то обе части равны 
. Итак, требуется найти
количество натуральных чисел 
, таких что 
. Их ровно 111111.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
