Площадь сечения (+ построение сечений)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде 
сторона нижнего основания 
равна 24, верхнего основания
равна 12, высота пирамиды 
равна 
, точка 
— центр основания 
Поверхность
многогранника 
состоит из квадрата 
, боковых граней пирамиды 
и боковых граней пирамиды
. Найдите площадь сечения многогранника 
плоскостью, проходящей через точки 
и середину ребра
.
Источники:
Подсказка 1
Для построения сечения достаточно внимательности и базовых навыков, которые у вас должны быть после школьной стереометрии. Когда находите точки пересечения плоскости с прямыми, также находите отношения, в которых эти точки их делят. Для этого может понадобиться теорема Менелая.
Подсказка 2
Чтобы искать площадь было удобнее, спроецируйте ортогонально сечение на плоскость основания, найдите плоскость проекции, затем поделите на косинус угла между плоскостями сечения и основания.
Подсказка 3
Площадь проекции можно представить в виде суммы и разности площадей некоторого количества треугольников.
Подсказка 4
Осталось найти косинус угла между плоскостями сечения и основания. Давайте заметим, что они пересекаются по прямой l, проходящей через D параллельно F₁C₁ (F₁ — середина A₁ и B₁). Пусть C₁' — проекция C₁ на основание, а H — основание перпендикуляра из C₁ на l. Нужно аккуратно посчитать косинус угла C₁'HC₁.
Пусть 
высота пирамиды 
Построение сечения:
- Точки
и 
— середины 
и 
- Точки
и 
— середины 
и 
- Прямая
принадлежит плоскости сечения. Найдем точку 
пересечения этой прямой с 
- Точки
и 
лежат в плоскости грани 
Прямая 
принадлежит плоскости сечения. Найдем точку 
пересечения с ребром 
- Треугольники
и 
равны, 
Из подобия 
Точка 
:
— пересечение прямых 
и 
значит, лежит в плоскости сечения.
Точки 
и 
:
- В плоскости трапеции
проведем 
Точка 
— пересечение 
с 
лежит в плоскости сечения.
- Из подобия треугольников
- Из подобия
Точка 
:
-
Прямая
пересекает 
в точке 
По теореме Менелая:
Точка 
:
-
Прямая
пересекает 
в точке 
По теореме Менелая:
Получили сечение, это многоугольник 
Площадь сечения:
Проекция сечения: Спроецируем все на плоскость основания, учитывая что отношения в которых делят отрезки 
точки 
известны и сохраняются при проекции, то все отрезки с изображения проекции известны. Тогда подсчитаем площадь
проекции как:
Угол 
:
Плоскость сечения и плоскость 
нижнего основания пересекаются по прямой 
проходящей через точку 
и параллельной
прямой 
Если 
— проекция точки 
на плоскость нижнего основания, то
Из точки 
опустим перпендикуляр 
на прямую 
Если 
— высота треугольника, то
Угол 
равен 
— углу между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Итоговая площадь:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
