Площадь сечения (+ построение сечений)

Пусть — середина ребра а точка - середина отрезка . Рассмотрим плоскость . Так как плоскость сечения параллельна медиане и проходит через точку , построим прямую в плоскости . Тогда - средняя линия в , а середина .

Теперь нам известны три точки сечения: . Рассмотрим основание пирамиды и посмотрим, как прямая пересекает стороны основания. Пусть эта прямая пересекает прямые в точках .

Из теоремы Менелая для треугольника получаем, что

Так как , то .

Далее замечаем, что . Тогда

Откуда .

Из подобия получаем

То есть .

Аналогично из подобия получаем

То есть .

Проведем , где - точка на . Тогда

И . Тогда из теоремы косинусов для треугольника получим .

Пусть - точка, в которой прямая пересекает ребро . Тогда из теоремы Менелая для и прямой получим:

Далее из теоремы Менелая для имеем:

В силу параллельности прямых и имеем , откуда . По теореме косинусов для имеем , то есть . Из теоремы Пифагора для треугольника получаем , откуда . По теореме косинусов для имеем , а значит . По теореме Пифагора для вычислим . Заметим, что для треугольника выполняется теорема Пифагора, то есть угол прямой. С помощью теоремы косинусов для треугольника вычислим . Теперь через теоремы косинусов для треугольников и вычислим длины отрезков . Далее по теореме Герона получаем .

Заметим, что . Значит, .

Построим прямую, проходящую через точку параллельную

Тогда:

Построим пересечение плоскости и прямой По теореме Менелая найдем, где пересекает отрезок

Чтобы найти сечение, проходящее через точку воспользуемся гомотетией. Для этого найдем отношение

Точка перейдет в точку точка перейдет в точку точка перейдет в точку Соответственно — как следствие гомотетии, а — по теореме Менелая. Получается что нужное нам сечение — а отношения в которых данная точка пересекает ребра тетраэдара:

Пусть — правильная пирамида, а сечение проходит через середину . В силу симметрии можно утверждать, что оно параллельно и . Итак, — середина , — плоскость сечения, тогда в силу её параллельности выполнено , где — середина . Далее, если — высота основания, а — её середина, то , поскольку в силу параллельности в лежит вся средняя линия () треугольника . Осталось снова воспользоваться , откуда вся средняя линия () треугольника лежит в , то есть — сечение (построение сечения стандартно, как на ЕГЭ, но требует обоснований).

Итак, , а также как средние линии, следовательно, — параллелограмм, — его высота, , так что

.

Построим сечение пирамиды. В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит прямой Тогда будет средней линией треугольника следовательно, где — сторона основания пирамиды.

Плоскость содержит прямые и которые параллельны плоскости сечения, следовательно, по признаку плоскость параллельна плоскости сечения.

Через точку проведем прямую параллельную где принадлежит прямой Т.к. и значит, — параллелограмм, следовательно, Учитывая, что — середина а также можем сказать, что

Пусть — точка пересечения прямых и Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку

Пусть — точка пересечения и Заметим, что углы И равны как вертикальные, а углы и как накрестлежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны, поэтому

Т.к. является правильным шестиугольником, значит, Учитывая, что получаем, что Т.к. и углы и равны, аналогично, т.к. и углы и равны, а также следовательно, треугольники и равны, поэтому

Пусть точка — точка пересечения прямых и а точка — точка пересечения прямых и Из-за того, что — правильный шестиугольник, можно сделать вывод, что Т.к. треугольники и подобны, поэтому

В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит ребру — точка пересечения прямой с ребром параллельны друг другу, поэтому по теореме Фалеса имеем

В плоскости точка — точка пересечения прямых и Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

Искомое сечение - это Для нахождения площади сечения используем формулу

где — площадь проекции сечения на плоскость основания, — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания.

Проекцией является пятиугольник Площадь проекции сечения вычисляется по формуле

Обозначим расстояние от точки до плоскости сечения Т.к. точка принадлежащая плоскости сечения является серединой расстояние от точки до сечения тоже равно В треугольнике проведем высоту обозначим ее длину Тогда

Т.к. — правильный, Тогда найдем по теореме косинусов:

Используя различные формулы для нахождения площади треугольника имеем

Тогда

Окончательно имеем

Пусть — длина стороны ромба, — его меньший угол. Тогда искомая площадь равна причем угол равен углу между прямыми и т.к. сечение параллельно ребрам и

Найдем Пусть сечение пересекает стороны в точках соответственно. Тогда и Пусть и имеют длину и соответственно. По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых и понимаем, что

Из подобия треугольников и и треугольников и получаем

Отсюда то есть

По теореме Пифагора

Отсюда

Найдем угол — угол между и Он равен углу между направляющими для этих прямых векторами и Их скалярное произведение равно Следовательно,

Соответственно,

Значит, искомая площадь равна

Поскольку сечение — четырёхугольник, плоскость пересекает все грани. Обозначим вершшины основания через и вершину пирамиды через . Тогда можно считать, что секущая плоскость пересекает рёбра в точках соответственно. Поскольку , прямая параллельна всей плоскости . Стало быть, . Аналогично, . Положим .

Тогда косинус двугранного угла при основании равен

что по условию равно , откуда . Из того, что получаем:

Таким образом,

то есть .

Пусть . Опустим высоту пирамиды в точку — центр квадрата . Далее пересечём (все они лежат в плоскости ), заметим, что , откуда пересечение этой плоскостью нашей — прямая , где . Отсюда будет искомым сечением.

В силу выполнено , то есть площадь можно найти по формуле . Далее — центр треугольника , как пересечение двух медиан, то есть

Кроме того,

Отсюда , а по свойству точки пересечения медиан . В итоге

Обозначим через сторону основания данной пирамиды .

Пусть плоскость, параллельная основанию пирамиды и проходящая через точку лежащую на высоте пирамиды, делит высоту в данном отношении

. Тогда в сечении пирамиды этой плоскостью получится квадрат со стороной ().

Пусть боковое ребро правильной призмы лежит на диагонали квадрата . Тогда вершины противоположной грани лежат на сторонах соответственно квадрата .

Из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда если - высота равностороннего треугольника , то

Пусть - сторона основания призмы. Тогда . Из уравнения находим, что .

Обозначим . Поскольку прямоугольник вписан в квадрат , причём его стороны параллельны диагоналям квадрата, то периметр прямоугольника равен сумме диагоналей квадрата, т. е. . Значит,

Поэтому

Выразим найденный объём через объём данной пирамиды:

Следовательно,

Поскольку пирамида правильная, то центр указанного шара лежит в плоскости , где — высота пирамиды. Пусть

Обозначим Проведем — точка касания шара плоскости пусть радиус шара

Поскольку то Треугольники и подобны, и или

По условию задачи Тогда

Точка — точка пересечения и тогда Поскольку

Пусть . Тогда Если то Угол между плоскостью и плоскостью основания равен Тогда

Пусть — отрезок перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость основания , и .

Тогда . Если , то

— высота треугольника проведенная из вершины

Построим плоскость . Для этого найдём точку пересечения прямой с плоскостью . Очевидно, что это будет точка . Значит, сечение куба плоскостью пересекает ребро в точке .

Построим плоскость . Для этого найдём точку пересечения прямой с плоскостью . Прямые и лежат в плоскости , а , значит, пересекает . Обозначим их точку пересечения через , она также лежит в плоскости DOM. Прямая также лежит в плоскости и пересекает ребро в некоторой точке . Заметим, что треугольники и равны, значит, . Треугольники и подобны с коэффициентом 2 , значит, . Пусть - некоторая точка искомого множества и плоскость пересекает ребро в точке . Прямая лежит в плоскости , а значит, точка пересечения прямой с плоскостью лежит на отрезке . Прямая лежит в плоскости , причём она заключена между прямыми и . Поскольку точка лежит в плоскостях и , то она лежит на прямой , а следовательно, внутри треугольника , значит, треугольник — искомое множество.

Треугольник — прямоугольный, точка точка симметрична относительно Секущая плоскость проведена через точку расстояние от точки до плоскости

Мы понимаем, что . Также ( средняя линия ), . Тогда видим, что К тому же

Аналогично, Плоскость содержит сечение — треугольник

Для площадей, в силу подобия треугольников, имеем соотношение

Отметим на точку такую, что Тогда

Через проведём прямую и пусть она пересекает прямую, параллельную и проходящую через в точке Тогда по теореме о перпендикулярах откуда

Найдем Поскольку и расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от точки до плоскости Длина отрезка равна высоте треугольника

Имеем Пусть . Тогда

(a) Рассмотрим грань исходного гипертетраэдра. Ее сечение пространством лежит в плоскости проходящей через точки Докажем, что точка — пересечение с ребром — является его серединой.

Действительно, пусть это не так, тогда прямая не параллельна прямой и пересекает его в точке которая лежит в плоскости что невозможно, потому что параллельна

Таким образом,

Подобным образом, каждым сечением гипертетраэдра является четырехугольник, все стороны которого равны. Кроме этого, стороны всех четырехугольников равны половине ребра грани исходного гипертетраэдра, а значит, равны между собой, т.е. его сечением является трехранная призма, все ребра которой равны.

б) Общей граничной плоскостью пространств, содержащих гиперграни и является плоскость Пусть — центр правильного треугольника тогда прямые и как высоты в правильных тэтраэдрах перпендикулярны плоскости то есть искомым является угол

Без ограничений общности, будем считать, что каждое ребро исходного тетраэдра имеет длину Тогда как высоты в правильных тэтраэдерах с единичным ребром. Наконец, в силу теоремы косинусов для треугольника

т.е.

В плоскости основания проводим прямую параллельную , , и прямую параллельную лежит в плоскости сечения. В плоскости основания проводим прямую, соединяющую точку с серединой стороны , точка — точка пересечения этой прямой со стороной . В плоскости основания проводим прямую , параллельную Точка — точка пересечения прямой со стороной Трапеция — искомое сечение.

Найдём площадь проекции сечения на плоскость основания призмы. Обозначим сторону основания через . Тогда . Пусть — проекция точки на основание . Пусть — проекция точки на основание . Поскольку и параллельны, то , и . Проекцией сечения на плоскость основания является трапеция , её площадь

Найдём косинус угла наклона плоскости сечения к плоскости основания призмы. Расстояние от прямой до плоскости сечения равно расстоянию от точки до плоскости сечения, которое, в свою очередь, равно расстоянию от точки до плоскости сечения (так как , принадлежит плоскости сечения).

Построим плоскость проходящую через точку и перпендикулярную линии пересечения основания и плоскости сечения ( и перпендикулярны ). Проведем прямую перпендикулярную , тогда расстояние равно

Угол наклона плоскости сечения к плоскости основания равен углу . Находим:

В треугольнике имеем

Итого по теореме о площади ортогональной проекции

Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат с диагоналями , пусть — его центр. Тогда является высотой пирамиды, так что из условия про косинус находим

Плоскость сечения параллельна , поэтому содержит параллельную прямую из плоскости . Поэтому сечение может быть двух видов:

1 случай) треугольник , где лежит внутри .

Тогда (строго меньше единицы, потому что сечение параллельно , содержать не может). Пусть .

Теперь найдём, чему равняется (то есть радиус вписанной окружности)

2 случай) Пятиугольное сечение плоскостью , где лежит внутри . Заметим, что и поэтому и

Пусть

Тогда из подобий

и

получаем

Значит,

Также имеем

Откуда

Так как

Тогда по теореме Пифагора

Воспользуемся формулой

Тогда

Имеем . Пусть . Тогда

Пусть плоскость П пересекается с прямыми и в точках и соответственно.

В плоскости из прямоугольного имеем

Далее из прямоугольного имеем

В плоскости из прямоугольного имеем

Так как перпендикулярно плоскости , то углом между прямой и плоскостью является

Так как

то расстояние от точки до плоскости равно

В плоскости из по теореме косинусов находим

Рассмотрим . Пусть . Тогда по теореме косинусов получаем

Следовательно, , и искомая площадь сечения равна