Площадь сечения (+ построение сечений)

Построим сечение пирамиды. В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит прямой Тогда будет средней линией треугольника следовательно, где — сторона основания пирамиды.

Плоскость содержит прямые и которые параллельны плоскости сечения, следовательно, по признаку плоскость параллельна плоскости сечения.

Через точку проведем прямую параллельную где принадлежит прямой Т.к. и значит, — параллелограмм, следовательно, Учитывая, что — середина а также можем сказать, что

Пусть — точка пересечения прямых и Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку

Пусть — точка пересечения и Заметим, что углы И равны как вертикальные, а углы и как накрестлежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны, поэтому

Т.к. является правильным шестиугольником, значит, Учитывая, что получаем, что Т.к. и углы и равны, аналогично, т.к. и углы и равны, а также следовательно, треугольники и равны, поэтому

Пусть точка — точка пересечения прямых и а точка — точка пересечения прямых и Из-за того, что — правильный шестиугольник, можно сделать вывод, что Т.к. треугольники и подобны, поэтому

В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит ребру — точка пересечения прямой с ребром параллельны друг другу, поэтому по теореме Фалеса имеем

В плоскости точка — точка пересечения прямых и Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

Искомое сечение - это Для нахождения площади сечения используем формулу

где — площадь проекции сечения на плоскость основания, — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания.

Проекцией является пятиугольник Площадь проекции сечения вычисляется по формуле

Обозначим расстояние от точки до плоскости сечения Т.к. точка принадлежащая плоскости сечения является серединой расстояние от точки до сечения тоже равно В треугольнике проведем высоту обозначим ее длину Тогда

Т.к. — правильный, Тогда найдем по теореме косинусов:

Используя различные формулы для нахождения площади треугольника имеем

Тогда

Окончательно имеем