Площадь сечения (+ построение сечений)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 
, высота 
равна 
Точка 
лежит на
высоте 
, причём 
. Через точку 
проведена плоскость 
, перпендикулярная прямой 
. Найдите
площадь сечения пирамиды плоскостью 
, расстояние от точки 
до плоскости 
и угол между плоскостью 
и прямой
.
Подсказка 1
Давайте начнём с поиска угла! Во-первых, давайте найдем, чему равны AO и AS - это можно сделать, исходя из условия, которое нам дано, и воспоминаний о теореме Пифагора. Если плоскость пересекает ребро AS в точке M, а ребро SD в точке P, то задачу можно переформулировать, как поиск угла SPM, а угол SMP мы знаем из перпендикулярности! Тогда как можно найти SPM?
Подсказка 2
SPM = 90 - MSP = 90 - ASD! Но мы знаем что-то про угол ASD - некоторые стороны в треугольнике, где он находится. Тогда мы можем узнать его синус!
Подсказка 3
Расстояние DP = DS - SP, а эти два расстояния попроще искать. DS мы уже знаем, а SP в треугольнике, где мы знаем угол, какие-то стороны можем тоже попробовать найти! Например, чтобы найти SP, попробуйте сначала найти SM и MP, чтобы вычислить расстояние
Подсказка 4
Площадь искомого треугольника можно найти, зная MN, MP и синус угла между ними. Попробуйте найти его, используя теорему косинусов! Для этого нам потребуются PM и PN, а значит надо найит PN (PM искали в прошлом пункте). А PN можно найти из теоремы косинусов в PNS!
Имеем 
. Пусть 
. Тогда
Пусть плоскость П пересекается с прямыми 
и 
в точках 
и 
соответственно.
В плоскости 
из прямоугольного 
имеем
Далее из прямоугольного 
имеем
В плоскости 
из прямоугольного 
имеем
Так как 
перпендикулярно плоскости 
, то углом между прямой 
и плоскостью 
является
Так как
то расстояние от точки 
до плоскости 
равно
В плоскости 
из 
по теореме косинусов находим
Рассмотрим 
. Пусть 
. Тогда по теореме косинусов получаем
Следовательно, 
, и искомая площадь сечения равна
Площадь равна 
Расстояние равно 
Угол равен 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
