Площадь сечения (+ построение сечений)

Подсказка 1.

Сразу же введём основание высоты пирамиды (например, через точку H) и центр шара (например, через точку O). Раз в условии у нас правильная пирамида, то центр данного шара лежит в плоскости SHC. Тогда удобно будет провести прямую, проходящую через центр O параллельно SH (пусть это прямая PR). Мы сразу знаем OP, ведь он равен радиусу, а также то, что RP перпендикулярен плоскости основания пирамиды. Введём коэффициент подобия треугольников SCH и RCP (пусть он равен 1/k). Тогда, зная SH, мы можем выразить PR через k. Хорошо бы было выразить ещё отрезки через k, чтобы впоследствии прийти к уравнению и найти k. Попробуйте сделать это в плоскости ABCD.

Подсказка 2.

В плоскости ABCD мы можем провести прямую, проходящую через P параллельно AB. Пусть она пересекает BC в точке N. Тогда, так как ABCD — квадрат, то AH = HC, и с помощью этого мы легко можем выразить PN через AB и k. Теперь можно заметить, что точка касания шара и плоскости SBC лежит на RN. Что тогда мы можем сказать про треугольники ROE и RPN?

Подсказка 3.

Верно, они подобны. Тогда, записав подобие, мы можем получить уравнение на k, откуда k = 1/3. Отлично, теперь пора возвращаться к плоскости из условия. Чтобы найти объём MBCK, нужно найти высоту из M на BCK (пусть это отрезок MG) и площадь треугольника BCK. С треугольником BCK нет никаких проблем, ведь мы знаем сторону квадрата ABCD и отношение CK к KD, а значит, можем найти любой элемент треугольника. Но как же найти MG? Попробуйте выразить его через SH и коэффициент подобия треугольников MCG и SCH (пусть он равен n). Чтобы найти n, можно использовать угол между плоскостями MKB и KBC, опустив высоту GV на BK.

Подсказка 4.

Используя подобие треугольников VFG и FKC (F является точкой пересечения BK и AC), мы можем выразить GV через n. Тогда мы можем выразить тангенс угла MVG через n. Отлично! Теперь осталось лишь найти этот угол. Мы знаем, что он является линейным углом двугранного угла между плоскостями MKB и KBC. Для решения задачи мы ещё не использовали, что плоскость MKB касается шара (пусть точка касания — точка T). Зная это, мы можем опустить перпендикуляр PQ на BK и получить, что TQP также является линейным углом двугранного угла между плоскостями MKB и KBC. Теперь нужно найти угол TQP. Его не очень удобно искать, однако посмотрите на треугольники OTQ и OQP. Попробуйте найти угол, используя их равенство.

Подсказка 5.

Треугольники OTQ и OQP равны, а значит и углы TQO и OQP. Тогда угол TQP в два раза больше угла OQP. А вот угол OQP легко найти, ведь мы можем выразить PQ через подобие треугольников QFP и KFC, а OP мы знаем. Так мы найдём тангенс угла OQP. Затем по формуле тангенса двойного угла найдём тангенс угла TQP и, подставив в уравнение, найдём n. Осталось лишь подставить n в формулу MG и найти объём.