Площадь сечения (+ построение сечений)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб с ребром 1, нижним основанием 
и боковыми ребрами 
. На ребрах 
отмечены
соответственно точки 
, так что 
, 
, 
. Найдите площадь сечения
тетраэдра 
, параллельного ребрам 
и 
, имеющего форму ромба.
Источники:
Подсказка 1
Начнём с хорошего чертежа! Возможно, будет удобно отдельно вынести тетраэдр KLMN, чтобы удобнее было работать с сечением. В каком случае сечение тетраэдра будет ромбом? А что нам нужно, чтобы найти его площадь?
Подсказка 2
Будем вычислять стороны ромба и угол между ними. Заметим также, что этот угол равен углу между рёбрами KL и MN тетраэдра. Итак, пусть вершина ромба делит ребро KN в отношении х/у, что можно сказать о том, в каких отношениях вершины ромба делят другие рёбра тетраэдра? Параллельность нам поможет это установить!
Подсказка 3
При помощи теоремы Пифагора можно вычислить любое ребро тетраэдра. А подобие треугольников поможет нам после этого отыскать сторону ромба. Но как же найти угол?
Подсказка 4
KL и MN, а также другие пары параллельных им прямых, не выглядят удобными для построения угла между прямыми напрямую, однако куб — очень хорошая фигура для работы с декартовой системой координат! Введите координаты и при помощи работы с векторами определите искомый угол. Остаётся лишь подставить найденные значения в формулу площади ромба и задача убита!
Пусть 
— длина стороны ромба, 
— его меньший угол. Тогда искомая площадь равна 
причем угол 
равен углу между
прямыми 
и 
т.к. сечение параллельно ребрам 
и 
Найдем 
Пусть сечение пересекает стороны 
в точках 
соответственно. Тогда 
и 
Пусть 
и 
имеют длину 
и 
соответственно. По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых 
и 
понимаем, что
Из подобия треугольников 
и 
и треугольников 
и 
получаем
Отсюда 
то есть
По теореме Пифагора
Отсюда 
Найдем угол 
— угол между 
и 
Он равен углу между направляющими для этих прямых векторами 
и
Их скалярное произведение равно 
Следовательно,
Соответственно,
Значит, искомая площадь равна
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
