Площадь сечения (+ построение сечений)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В кубе 
, все рёбра которого равны единице, точка 
— середина ребра 
, точка 
— центр грани 
.
Множество точек, лежащих на грани 
, таково, что для любой точки 
этого множества плоскость 
пересекает ребро
. Найдите площадь этого множества.
Источники:
Подсказка 1
Неудобно рассматривать какой-то произвольный случай для точки X. Тогда попробуйте рассмотреть граничные случаи (когда XOM пересекает ребро AD в точке A или D).
Подсказка 2
Для точки A всё ясно. В этом случае плоскостью XOM будет являться плоскость B₁AM. Теперь посмотрим на случай с точкой D. Прямые OD и B₁C₁ лежат в одной плоскости. Тогда что можно сказать про их взаимное расположение?
Подсказка 3
Точно! Они пересекаются (пусть в точке E). Теперь рассмотрим произвольную точку X нашего множества. Пусть она пересекает AD в точке F, а OF пересекает AD в точке G. Раз X лежит и в BB₁C₁C, и в FOM, то на какой прямой лежит эта точка?
Подсказка 4
Верно! На MG. Значит, наше множество представляется всеми такими прямыми MG. Но все они заключены между ME и MB₁. И раз X лежит на грани BB₁C₁C, то X лежит в той части треугольника MEB₁, что находится на грани BB₁C₁C. Тогда нам всего лишь осталось найти её площадь.
Подсказка 5
Необходимо найти площадь треугольника MHB₁ (H является точкой пересечения BB₁ и ME). То есть нужно вычислить значение 1/2×B₁H×C₁B₁. Осталось всего лишь найти B₁H. Для этого посмотрите на треугольники EHB₁ и EMC₁. Что можно про них сказать?
Построим плоскость 
. Для этого найдём точку пересечения прямой 
с плоскостью 
. Очевидно, что это будет точка 
.
Значит, сечение куба плоскостью 
пересекает ребро 
в точке 
.
Построим плоскость 
. Для этого найдём точку пересечения прямой 
с плоскостью 
. Прямые 
и 
лежат в
плоскости 
, а 
, значит, 
пересекает 
. Обозначим их точку пересечения через 
, она также лежит в
плоскости DOM. Прямая 
также лежит в плоскости 
и пересекает ребро 
в некоторой точке 
. Заметим, что
треугольники 
и 
равны, значит, 
. Треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 2 , значит,
. Пусть 
- некоторая точка искомого множества и плоскость 
пересекает ребро 
в точке 
. Прямая 
лежит в плоскости 
, а значит, точка пересечения 
прямой 
с плоскостью 
лежит на отрезке 
. Прямая 
лежит в плоскости 
, причём она заключена между прямыми 
и 
. Поскольку точка 
лежит в плоскостях 
и
, то она лежит на прямой 
, а следовательно, внутри треугольника 
, значит, треугольник 
— искомое
множество.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
