Тема . Геометрия помогает алгебре

Увидеть треугольник

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия помогает алгебре
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91963

Пусть x,y,z  — положительные числа и

xyz(x+ y+ z)= 1.

Найдите наименьшее значение выражения

(x+ y)(x+ z).
Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник со сторонами a= x+ y  , b=y +z  , c= z+ x  . Так как для этих 3 чисел выполняется неравенство треугольника, то он существует. Тогда

p= x+ y+z

x= p− b,y = p− c,z =p − a

Значит, площадь треугольника по формуле Герона

S = ∘p-(p−-a)(p−-b)(p−-c)= ∘xyz(x+-y+-z)-=1

С другой стороны, если угол между сторонами a  и c  равен β  , то

S = acsinβ-= (x+-y)(x+-z)sinβ =1,
      2           2

и значит,

(x+y)(x+z)= -2--≥ 2.
            sin β

Пусть a= 1  , c =2  и b= √3  . Тогда (x+ y)(x+ z)= -2-= 2
             sin β  . То есть оценка достигается.

Ответ: 2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!