Увидеть треугольник

Отложим от одной точки на плоскости отрезки длиной так, чтобы угол между отрезками и был угол между отрезками и был а угол между отрезками и был Обозначим вторые концы отрезков через и соответственно.

Тогда по теореме косинусов Тогда наше неравенство сразу следует из неравенства треугольника (возможно, вырожденного).

Обозначим тогда наше уравнение перепишется в виде:

Таким образом у нас получаются два треугольника и , где

Так как по теореме Пифагора то и лежат на Заметим, что — высота в треугольнике Действительно,

Следовательно,

Давайте сделаем следующую замену: А также обозначим полупериметр треугольника со сторонами (а такой существует, так как очевидно, что выполняется неравенство треугольника) за Тогда условия перепишутся следующим образом:

Первое условие говорит нам о том, что площадь треугольника по формуле Герона. Значит имеет место быть равенство: Тогда можно переписать вопрос как: Предположим противное, тогда по известному факту о том, что при фиксированном радиусе треугольник наибольшей площади — равносторонний можем понять (чтобы его доказать, можно заметить, что для фиксированной стороны треугольник наибольшей площади равнобокий, значит он равнобокий для всех сторон-оснований), что наибольшая площадь будет равна Противоречие.

Сделаем стандартную для сторон треугольника замену: Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые. Получим, что должно выполнятся равенство Что невозможно, значит такого треугольника не существует.

Сделаем стандартную для сторон треугольника замену: Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые. Получим, что нужно доказать следующее:

Но заметим, что по неравенству о средних:

Аналогично, для других слагаемых правой части, после сложения неравенств получим требуемое.

Первое решение.

Рассмотрим треугольник с длинами сторон , и углом в между ними. Тогда по теореме косинусов длина стороны напротив угла в градусов равна . При этом в треугольнике с углом в сторона напротив такого угла является средней из трёх сторон (напротив большего угла лежит большая сторона, напротив меньшего угла – меньшая). В искомом неравенстве стоят разности сторон, так что одна скобка неотрицательна, а другая неположительна.

Второе решение.

В силу положительности чисел искомое неравенство равносильно

Ведь множители и положительны.

Тогда нам нужно доказать (с учётом формулы разности квадратов)

Подставляем условие

На положительное можно сократить и получим

Что верно в силу неотрицательности квадрата.

Рассмотрим треугольник со сторонами и углом между ними .

Тогда третья сторона равна , что соответствует первому слагаемому. Правая же часть будет получаться из треугольника с углом

Рассмотрим конструкцию

Здесь и

В силу неравенства треугольника , что и требовалось.

Первое решение.

Отложим на оси координат от точки с координатами отрезок длины влево, длины вверх и длины вправо. Тогда В треугольнике по теореме косинусов Тогда . По теореме о сумме углов в треугольнике получаем, что , откуда следует

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Сначала заметим, что . Кроме того, из-за области определения каждого арктангенса из суммы. По формуле тангенса суммы

Поскольку угол лежит на промежутке , то это единственное возможное значение. Отсюда сумма из условия равна .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Рассмотрим прямоугольник со сторонами и и построим из точки лучи с нужными тангенсами:

Заметим, что и , то есть осталось доказать, что (поскольку сумма всех трёх равна ). Но , так что по обратной теореме Пифагора , причём равнобедренный прямоугольный, откуда и следует нужное равенство.

Если то и , так что в уравнении получаем

противоречие.

При рассмотрим треугольник с длинами сторон и углом в между ними. Тогда третья сторона по теореме косинусов равна . Второе слагаемое из условия получается аналогично для длины стороны вместо . Рассмотрим конструкцию

Тогда исходное уравнение примет вид , поскольку треугольник прямоугольный. По неравенству треугольника получаем, что такое равенство может быть выполнено только при , то есть только когда равен длине биссектрисы из вершины прямого угла треугольника с катетами и . По формуле длины биссектрисы

Первое решение.

Второе решение.

Рассмотрим треугольник , в котором и . Проведём высоту , получим прямоугольный с углом , откуда . С другой стороны, из прямоугольных и имеем , откуда и следует требуемое.

Рассмотрим треугольник с выбранной внутри него точкой так, что

Условия системы представляют собой теорему косинусов (в т.ч. теорему Пифагора) для треугольников

Отсюда нетрудно понять, что Теперь заметим, что

Площадь треугольника найдем по формуле Герона:

Следовательно,

Пусть – произвольная точка привоза товара, – расстояния от точки привоза до домов; Суммарное расстояние:

Из неравенства треугольника:

Равенство достигается только в случае, когда треугольники вырождаются в отрезки.

Правая часть неравенства не зависит от положения точки поэтому

Минимум достигается, когда точка совпадает с точкой поскольку в ней все неравенства превращаются в равенство.

Рассмотрим треугольник со сторонами , , . Так как для этих 3 чисел выполняется неравенство треугольника, то он существует. Тогда

Значит, площадь треугольника по формуле Герона

С другой стороны, если угол между сторонами и равен , то

и значит,

Пусть , и . Тогда . То есть оценка достигается.

Пусть есть. Тогда возьмем точку, выпустим 3 луча, между которыми углы и отметим на эти лучах отрезки длины , и

Тогда

Но для треугольника не выполняется неравенство треугольника. Противоречие.

Изобразим на координатной плоскости трехзвенный манипулятор (звенья длин , первое звено которого — отрезок с началом в , а третье — отрезок с концом . Тогда — угол, образованный первым звеном и осью и — углы соответственно между первым и вторым, и вторым и третьим звеньями манипулятора, а — угол между направленным третьим звеном и положительным направлением оси

Изобразим окружности и с центрами в точках и и радиусами и соответственно. Вектор (третье звено манигулятора) образует известный угол — таким образом, точка имеет координаты . Изобразим окружность с центром в точке и радиусом

Количество общих точек окружностей и равно количеству решений задачи. Задача не имеет решений, если треугольника (пусть и вырожденного) со сторонами не существует.

Найдем одно из решений задачи. Рассмотрим — второе звено манипулятора). В нём

Зная стороны треугольника, найдем его углы (используя теоремы синусов и косинусов). Так,

причём

Аналогично,

Наконец,

Заметим, что в знаменателях стоят длины отрезков касательных к вписанной в треугольник со сторонами окружности. Обозначим знаменатели Тогда неравенство эквивалентно

Последнее верно в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для 6 чисел (положительных, так как это длины отрезков касательных).

по теореме косинусов это длина стороны напротив угла в в треугольнике, поэтому она является средней из трёх сторон. В связи с этим число получиться не может, потому что каждое полученное в результате данной операции простое будет меньше Поэтому наибольшее число, которое мы теоретически можем получить, это

Теперь приведём алгоритм, как получить 2011: будем последовательно выбирать два наибольших простых числа из всех, игнорируя Так всегда будет оставаться меньшее из этих чисел, поскольку большее остаться не может, при этом на каждом шаге мы рассматриваем два последовательных простых (это доказывается по индукции, поскольку на первом шаге мы оставим из пары и и так далее). То есть на каждом шаге при этом — последовательные простые, поэтому между ними других простых нет и мы будем выбирать

Наконец, останутся числа для них покажем, что подходит:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно чисто алгебраически доказать неравенство при условии Для этого достаточно возвести его в квадрат и использовать откуда сразу же получаем требуемое

Первое решение.

Отложим из одной точки отрезки с длинами соответственно так, чтобы

Тогда по теореме косинусов при учете соотношения получаем, что Видим, что по теореме Пифагора треугольник прямоугольный причем его катет в два раза короче гипотенузы откуда следует равенства

Отметим точку — середину гипотенузы и точку что и точки и по разные стороны от

По построению треугольники и отличаются поворотом на с центром в точке Отметим точку в треугольнике соответсвующую точке в треугольнике Тогда Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник получается равносторонним, поскольку точки и отличаются поворотом на с центром в точке

Осталось отметить, что точки лежат на одной прямой, поскольку В итоге получаем, что

а может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника

Второе решение.

Вычтем из первого равенства второе. Получим т.е.

Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим

Если обозначить то можно переписать предыдущее соотношения как

Теперь сложим все исходные равенства:

(1)

Нетрудно заметить, что левую часть можно выразить следующим образом:

что означает

Домножением на получаем биквадратное уравнение

корнями которого являются Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством

Значит, остается т.е.

Первое решение.

Обозначим через через . Заметим, что , a , откуда ; также .

Находим:

Наконец, поскольку , то . Значит, .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим на координатной плоскости точки , . Поскольку угловой коэффициент прямой равняется , а угловой коэффициент прямой равняется , получаем, что .

В треугольнике ; значит, . В треугольнике ; значит, . В треугольнике , ; значит, .

Таким образом,