Увидеть расстояние между точками

Заметим, что выражение из условия есть сумма расстояний от точки с координатами до точек и . А уравнение задаёт ромб. Наша задача свелась к нахождению точки на границе ромба с минимальной суммой расстояний до двух выбранных. Докажем, что этот минимум достигается в точке, равноудаленной от точек и .

Пусть точка лежит на прямой , параллельной , и удаленной от прямой на расстояние . Пусть также точка на прямой такова, что , а точка симметрична относительно прямой . Тогда получаем

Причем равенство получается только, если точки и совпадают.

В нашем случае сторона ромба параллельна , а точка на прямой , для которой , лежит на стороне ромба. Сумма расстояний от любой другой точки ромба до точек и больше . Остается найти и расстояние между прямыми и . Применяя теорему Пифагора, получаем . Расстояние между прямыми равно расстоянию от прямой до начала координат, поэтому

откуда .

Таким образом,