Увидеть расстояние между точками

Левая часть второго уравнения есть расстояние между точками и .

Поскольку расстояние между точками и равно 4, второе уравнение системы задает отрезок , т. е. множество точек вида , где .

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно , находим, что . Таким образом, первое уравнение задает две вертикальных прямых на плоскости. Для того чтобы система имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ровно одна из этих двух вертикальных прямых пересекала отрезок .

Первая прямая пересекает при , т. е. при ; вторая прямая - при , т. е. при . Следовательно, система имеет ровно одно решение при .

Будем рассматривать как координаты в трёхмерном пространстве. Тогда исходные неравенства задаются внутренней областью между двумя параллельными плоскостями, параллельными одной из осей. Значит, областью, в которой все неравенства выполнятся, будет параллелепипед. Заметим, что нас просят найти наибольшее значение суммы квадратов, то есть самую удалённую от начала координат точку параллелепипеда. Ясно, что она будет в одной из вершин. Вершины симметричны относительно поэтому можно считать, что Тогда нужно решить системы уравнений:

Здесь

Здесь

Здесь

Здесь Таким образом, получаем максимум

На оси абсцисс отметим отрезки, равные по длине , а на оси ординат — отрезки длины . Тогда выражение — это расстояние от точки до точки , а — расстояние от точки до точки .

Таким образом, получили ломанную из точки до точки с координатами

. Ее длина не превосходит расстояния между этими точками, то есть

Тогда

Решив это уравнение, находим

Перепишем исходное выражение, как

Заметим, что каждое из четырёх слагаемых это расстояние между точками

По неравенству ломанной это сумма минимальна, когда все отрезки лежат на и тогда сумма их длин по теореме Пифагора равна причём равенство достигается при

Заметим, что первое слагаемое задаёт расстояние от точки до точки второе слагаемое задаёт расстояние от точки до точки

По неравенству треугольника для

Таким образом, минимальное значение достигается, когда точка лежит на отрезке при

Если выделить полные квадраты под корнями, то уравнение можно записать в виде

Этому уравнению удовлетворяют такие пары точек , сумма расстояний от которых до точек и равна

Множеством точек плоскости, обладающих таким свойством, является эллипс. По его фокусам легко восстановить канонический вид уравнения (центр эллипса находится в середине между фокусами, координаты считаются как полусумма, соответственно считаются и длины больших полуосей):

Перебором и можно найти решения и , а им из симметрии соответствуют пары и . В ответ же записываем только пары, у которых обе компоненты натуральные.

Пусть — точки двумерной координатной плоскости, тогда выражение равно сумме расстояния между точками и расстояния между точками то есть

Если точки не лежат на одной прямой, то по неравенству треугольника имеем

Если точки лежат на одной прямой и точка не лежит на отрезке , то один из отрезков и содержит отрезок , поэтому также справедливо неравенство

Наконец, если точки лежат на одной прямой и точка лежит на отрезке , тогда справедливо равенство

Следовательно, наименьшее значение выражения равно .

Построим отрезки перпендикулярно оси из точек с координатами и длинами и (все числа по условию положительные) соответственно с концами в и . Тогда сумма в левой части неравенства по формуле расстояния между точками равна по неравенству ломаной, что и требовалось.

Отметим точки с координатами . Заметим, что эти три точки лежат на одной прямой, а выражение из условия является суммой длин отрезков , где имеет координаты . По неравенству треугольника . С учётом очевидного неравенства , тогда получаем , причём оценка является точной, потому что равенство достигается при .

Первое уравнение системы можно переписать в виде:

Отметим на координатной плоскости точки . Тогда уравнение задаёт соотношение на длины отрезков . Вспомним, что в неравенстве треугольника () равенство может достигаться только в случае вырожденности треугольника. Итак, первое уравнение эквивалентно условию, что точка лежит на отрезке , то есть лежит на прямой при дополнительных условиях . Подставим во второе уравнение системы:

Корень не подходит под условие , так что не входит в решения системы.

Корень подходит под условие .

Соответствующее значение подходит под ограничения

Рассмотрим второе уравнение. Если , и , то второе уравнение превращается в . Значит, точки и лежат на одной прямой и . Тогда и . Отсюда , и . Проверяем, что эта точка подходит (это необходимо, так как пока мы знаем, что точка лежит на прямой , а нам еще нужно, чтобы она лежала между точками и ).

Пусть , , . Тогда

Раз достигается равенство, то лежит на прямой и . Значит, . Тогда и . Заметим, что если посмотреть на это как на функцию от , то она возрастает и поэтому будет не более 1 корня. Это корень , так как и .

Перепишем первое уравнение.

Значит, . Пусть , , . Тогда по условия . Значит, они лежат на одной прямой и поэтому и .

Значит, и или если эти числа лежат в . Первое значение попадает в интервал при , а второе при . Значит, ответ .

Если , то всё очевидно. Если , поделим равенство на и перенесём в другую часть, получим

Рассмотрим на координатной плоскости две точки: и , а также обозначим тогда .

Точка с координатами и лежит на прямой .

Но также ясно, что эти три точки лежат на графике функции . Так как эта функция является вогнутой (например, потому, что её вторая производная отрицательна), то с прямой может пересекаться максимум по двум точкам, а это значит, что какие-то два из трёх чисел совпадают:

Так как знаменатель функции

равен

и всегда положителен, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение знаменателя. При этом функцию можно трактовать как сумму двух расстояний: от точки до точки и от точки до точки . Мы специально выбрали точки так, что они лежат по разные стороны от оси абсцисс, тогда наименьшее значение суммы достигается в точке пересечения прямой и оси абсцисс. Это будет точка , но вычислять ее нет необходимости, так как наименьшее значение функции просто равно длине отрезка

Поэтому наибольшим значением функции является . Значит,

Заметим, что выражение из условия есть сумма расстояний от точки с координатами до точек и . А уравнение задаёт ромб. Наша задача свелась к нахождению точки на границе ромба с минимальной суммой расстояний до двух выбранных. Докажем, что этот минимум достигается в точке, равноудаленной от точек и .

Пусть точка лежит на прямой , параллельной , и удаленной от прямой на расстояние . Пусть также точка на прямой такова, что , а точка симметрична относительно прямой . Тогда получаем

Причем равенство получается только, если точки и совпадают.

В нашем случае сторона ромба параллельна , а точка на прямой , для которой , лежит на стороне ромба. Сумма расстояний от любой другой точки ромба до точек и больше . Остается найти и расстояние между прямыми и . Применяя теорему Пифагора, получаем . Расстояние между прямыми равно расстоянию от прямой до начала координат, поэтому

откуда .

Таким образом,

Пусть , , , . Заметим, что

Осталось показать, что значение достигается. Для этого точки должны лежать на одной прямой. Значит, , и . Тогда , , , , эти точки лежат на прямой и именно в таком порядке. Значит, .