Тема Теория вероятностей и математическая статистика

Геометрическая вероятность

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и математическая статистика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105887

Два друга договариваются встретиться в кафе в промежутке с $16:00$ до $17:00.$ Каждый из них приходит в случайный момент времени в этом интервале и ждёт другого ровно $10$ минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что они встретятся?

Показать ответ и решение

Изобразим графически времена прибытия друзей в кафе, где точка $(0,0)$ будет сопоставлена с $16:00.$ Пусть $x$ — время прибытия первого друга, а $y$ — время прибытия второго. Тогда:

(| ||||| 0≤ x≤ 60 |||{ 0{≤ y ≤60 | y ≥ x ||||| { y− x≤ 10 |||( x≥ y x− y ≤ 10

$PIC$

Вероятность, что друзья встретятся, будет равна отношению площади выделенной фигуры к площади прямоугольника.

S = 60⋅60= 3600

50⋅(60− 10) 50 ⋅(60− 10) Sвыд. = S−----2-----− ----2-----=1100

Вероятность встречи будет равна

Sвыд.= 1100-= 11 S 3600 36

Ответ:

$11 36$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98981

Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что из образовавшихся кусков можно составить треугольник.

Показать ответ и решение

Пусть длина палки — $L,$ тогда после того как мы ее сломаем у нас образуются 3 куска длины $x,y$ и $L− x− y.$ Чтобы из них можно было составить треугольник должны выполнятся следующие неравенства:

(| x+ y > L− x− y |||{ | x+ (L− x− y) >y |||( y+ (L− x− y)> x

После преобразований получаем:

(| x +y > L ||||| 2 { y < L |||| 2 ||( x< L- 2

Нарисуем график, который соответсвует данным неравенствам.

$PIC$

Отношение площади закращенной фигуры к площади треугольника и будет вероятностью искомого события.

1 L- L- 2 ⋅2-⋅2-= 0.25 1 ⋅L ⋅L 2

Ответ:

$0.25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69860

Во время автогонок на пункте пит-стоп производят смену шин. Известно, что автомобиль $A$ может приехать на пит-стоп в период с $9 :30$ до $10 :30,$ и длительность смены шин составляет $10$ мин, а автомобиль $B$ — в период с $9:30$ до $10:20$ и пробудет на пункте 20 мин. Какова вероятность того, что автомобили $A$ и $B$ встретятся на пункте пит-стоп?

Показать ответ и решение

Когда речь идёт о времени, удобно применить геометрический подход к вероятностям. Введём прямоугольник $ABCD$ размерами $5×6$ ( $50×60$ ), при этом в одном делении будет $10$ минут. Далее условия задаются с помощью $y ≤ x+ 10,x ≤y +20$ — то есть второй автомобиль приезжает не более, чем через $10$ минут после первого, а первый не более, чем через $20$ после второго.

$PIC$

А найти нужно площадь фигуры между прямыми и внутри нашего прямоугольника

p= SAKLCMN--= 30-− 16-=-7 SABCD 30 15

Ответ:

$-7 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69862

Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число $A$ из отрезка $[1,2]$ и заставляет программу решать уравнение $3x+ A =0.$ Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем $− 0,4.$

Показать ответ и решение

Нас просят найти вероятность того, что

A- A- − 3 < −0,4 ⇐⇒ 3 > 0,4 ⇐⇒ A > 1,2

Эта вероятность равна $2−1,2 -2−1 =0,8$ (делим длину подходящей части отрезка $[1;2]$ на его длину).

Замечание. Не важно, включаем мы точку $1,2$ или нет, вероятность от этого не меняется. Длина полуинтервала $(1,2;2]$ равна длине отрезка $[1,2;2].$ Взрывает мозг? Подумайте, какова вероятность, что компьютером выбрано число $A = 1,2.$

Ответ:

$0,8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#69864

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги $ABCD.$ Митя называет сгиб красивым, если сторона $AB$ пересекает сторону $CD$ и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F.$ Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Развернём красивый сгиб (правый рисунок). Пусть диагональ $BD$ и линия сгиба $ST$ пересекаются в точке $O.$ Треугольники $BSO$ и $DT O$ равны по стороне и двум углам. Значит, $BO = OD,$ и поэтому $O$ — центр квадрата. Таким образом, линия сгиба $ST$ проходит через центр квадрата. Очевидно, обратное также верно — если линия сгиба проходит через центр квадрата, то сгиб будет красивым.

Точка $S$ может занять любое положение между $B$ и $C,$ а точка $T$ при этом расположена между $D$ и $A.$ Значит, чтобы через точку $F$ можно было сделать красивый сгиб, нужно, чтобы точка $F$ принадлежала треугольнику $BOC$ или треугольнику $AOD.$

Площадь фигуры, ограниченной этими треугольниками, равна половине площади квадрата.

Ответ:

$0,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98980

Поезд $A$ и поезд $B$ встречаются на перегоне в первой половине дня. Поезд $A$ прибывает на перегон между $08 :30$ и $09:30$ часами, стоит $10$ минут и уезжает. Поезд $B$ может прибыть в произвольное время с $08:30$ до $09 :20$ , и тоже стоит $10$ минут и уезжает. Какова вероятность того, что поезда встретятся на перегоне?

Показать ответ и решение

Изобразим графичеки времена прибытия поездов, где точка $(0,0)$ будет сопоставлена $8:30.$

$PIC$

Теперь вероятность события $A$ (встреча поездов во время перегонки) будет равна отношению площади выделенной фигуры к площади прямоугольника. Площадь прямоугольника:

S = 50⋅60= 3000

Прощадь выделенной фигуры находим, как разность прощадей:

(60-− 10)⋅50 (50−-10)⋅(60−-20)- SA = S− 2 − 2 = 950

В итоге

SA 950 19 P(A)= -S-= 3000-= 60

Ответ:

$19 60$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105888

Двухметровая газовая труба проржавела в двух местах. Определить вероятность того, что все три получившиеся части можно будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе $50$ см от магистральной газовой трубы.

Показать ответ и решение

Обозначим размеры частей, на которые разрезали трубу $x,y$ и $200 − x− y.$

Очевидно, что величины $x$ и $y$ могут принимать любые значения из промежутка $[0;200]$ . Toгда все множество возможных сочетаний ( $x;y$ ) можно изобразить на координатной плоскости $xOy$ в виде прямоугольного треугольника со сторонами, равными 200 см:

$PIC$

Мерой этого множества можно считать площадь этого треугольника $S = 12 ⋅200⋅200 =20000$ см $2.$

Для того, чтобы использовать получившиеся части в качестве отводов для плит, размер каждой из них должен быть не менее 50 см.

Множество значений $x$ и $y$ , удовлетворяющих этим условиям, можно описать в виде системы неравенств

(|{ x≥ 50 y ≥ 50 |( 200− x− y ≥50

которая отображается на координатной плоскости также в виде прямоугольного треугольника со сторонами 25 см и площадью $S1 = 12 ⋅50⋅50= 1250$ см $2.$

Тогда, вероятность того, что размеры разрезанных частей подойдут для отводов плит составит

p = S1= 1250-= 1- S 20000 16

Замечание. При решении задачи может быть использовано подобие треугольников: коэффициент подобия прямоугольных треугольников с катетами $200$ и $50$ соответственно равен $1 4$ , значит, их площади относятся как $1- 16$ .

Ответ:

$-1 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#69861

Трехметровая газовая труба проржавела в двух местах. Определить вероятность того, что все три получившиеся части можно будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе $75$ см от магистральной газовой трубы.

Источники: Газпром - 2022, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Пусть длины частей это $x,y,300− x − y.$ Очевидно, что $x,y ∈ [0,300]$ и $x+ y ≤ 300.$ Также запишем ограничения, которые следуют из расстояний между ржавчиной на трубе

( x≥ 75 x ≥75 |{ ⇐ ⇒ |( y ≥75 y ≥75 300− x− y ≥ 75 x +y ≤225

Введём координаты с длиной одного деления $5,$ получим прямоугольный треугольник $KLM,$ который удовлетворяет всем условиям.

$PIC$

Длина его катета равна $75,$ а длина катета $ABC$ равна $300$ — мы равновероятно находимся в каждом точке именно $△ABC$ (вместо прямоугольников, как раньше). Отсюда вытекает

2 p = SKLM-= 752-= 1- SABC 300 16

Ответ:

$-1 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#94762

Соревнование по бегу на непредсказуемую дистанцию проводится следующим образом. На круглой беговой дорожке случайным образом (с помощью вращающейся стрелки) выбираются две точки $A$ и $B$ , после чего спортсмены бегут из $A$ в $B$ по более короткой дуге. Зритель купил билет на стадион и хочет, чтобы спортсмены пробежали мимо его места (тогда он сможет сделать удачную фотографию). Какова вероятность, что это случится?

Источники: ФЕ - 2021, 11.5 (см. www.formulo.org)

Показать ответ и решение

Отождествим каждую точку дорожки с её расстоянием до зрителя по часовой стрелке. Тогда пары $(A,B)$ можно отождествить с парами чисел из $[0,1)$ (длину всей дорожки примем за единицу). При этом вероятность того, что $(A,B)$ принадлежит некоторому подмножеству $[0,1)×[0,1)$ , равна площади этого подмножества. Нас интересует множество таких $(A,B)$ , что $1 |A− B|> 2$ (в этом случае кратчайшая дуга проходит через 0), это пара треугольников общей площадью $1 4$ :

$PIC$

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#69863

В уравнении $ax= b$ параметры $a$ и $b$ выбираются наудачу соответственно из сегментов $0≤ a≤ m,0≤ b≤n.$ Какова вероятность того, что корень этого уравнения будет больше единицы при условии, что $m,n,a,b$ — натуральные числа?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Корень уравнения $ax = b$ больше единицы при условии $b> a.$ Будем рассматривать параметры $a$ и $b$ как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости( $a$ — ось абцисс, $b$ — ось ординат). Поскольку $a$ и $b$ натуральные $a >0, b> 0$ и поэтому число всех возможных испытаний равно $m⋅n.$

$PIC$

Если $m ≤n$ то число исходов, не благоприятствующих рассматриваемому событию, равно

1+ 2+ 3+ ...+(m − 1)+ m = m(m-+1) 2

Значит, рассматриваемому событию благоприятствует

m-(m-+-1) mn− 2

исходов испытания, то есть $m- 2 (2n− m − 1)$ исходов. Поэтому вероятность $p$ находим из формулы

2n− m − 1 p= ---2n---

$PIC$

Если $n< m$ и $m > 2,$ то число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, равно

n(n−-1) 1+2+ 3+ ...+ (n − 1)= 2

Следовательно,

n− 1 p= -2m-

Итого получаем $2n−2mn−1,$ если $m ≤ n$ и $n2−m1,$ если $m> n.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Вероятность каждого значения $a ∈{1,...m}$ равна $1m,$ вероятность каждого значения $b$ по аналогии будет $1n.$ Нам требуется найти вероятность того, что $b> a$

min∑{m,n} ∑n 1--min{∑m,n} p= a=1 p(a)b=a+1 p(b)= nm a=1 (n− a)=

min{m,n}⋅n−-min{m,n}(mi2n{m,n}+1)- = nm

Если $m ≤n,$ то получаем

mn − m(m+1-) 2n− m− 1 ----nm-2---= ---2n---

Иначе

n2−-n(n+21)= n-− 1 nm 2m

Ответ:

$qn− q(q+21), nm$ где $q = min{m,n}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#98984

Точки $P,Q$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ так, что $AP :PB =2 :1,AQ :QC = 1:3.$ Точка $M$ выбрана на стороне $BC$ совершенно случайно. Найти вероятность того, что площадь треугольника $ABC$ превосходит площадь треугольника $PQM$ не более, чем в три раза.

Источники: Росатом - 2020, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Возьмем отношение $CM- CB$ за $x,$ тогда можно выразить площадь треугольника $P QM.$

SPQM = SABC − SAQP − SBPM − SCQM

SABC SABC ⋅(1− x) SABC ⋅3x 6 − 5x SPQM = SABC −--6--− -----3-----− ---4----= SABC ⋅-12-

Тогда:

S 12 S-ABC ≤3 =⇒ 6−-5x ≤ 3 PQM

3(5x−-2)≤ 0 6− 5x

( ] ( ) x∈ −∞; 2 ∪ 6;+∞ 5 5

Но так как $CM <CB,$ потому что $M$ — точка на $CB,$ то $x ∈[0;1],$ а значит, нам подходит интервал $[0;2]. 5$ Вероятность того, что площадь треугольника $PQM$ будет не более чем в 3 раза меньше площади треугольника $ABC$ равна $2. 5$

Ответ:

$2 5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#46107

На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$ . Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не меньше трети площади треугольника $ABC$ .

Показать ответ и решение

Обозначим $BM :BA = x,BN :BC =y$ . Тогда имеем условие $SBMN-= xy ≥ 1 SABC 3$ , где $x,y$ равномерно распределены на отрезке $[0,1]$ . Представим это в виде квадрата $1× 1$ — выбор $(x,y)$ аналогичен выбору случайной точки из квадрата:

$PIC$

Нас интересует площадь над гиперболой $xy = 13$ внутри этого квадрата.

Гипербола пересекается с прямой $y = 1$ при $x= 13$ , поэтому для искомой площади нам нужно из площади прямоугольника $23 ⋅1$ вычесть площадь под гиперболой, которая равна

∫1 1 1 1 ln3 3xdx= 3 ⋅(ln1 − ln3)=-3 1∕3

Итак, получаем $2 ln3 3 − 3 .$

Ответ:

$2−ln3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#46227

На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$ . Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не больше половины площади треугольника $ABC$ .

Источники: Росатом-19, 11.4 (см. mephi.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим $BM :BA = x,BN :BC =y$ . Тогда $SBMN- =xy ≤ 1 SABC 2$ , где $x,y$ равномерно распределены на отрезке $[0,1]$ . Представим это в виде квадрата $1 ×1$ — выбор $(x,y)$ аналогичен выбору случайной точки из квадрата.

$PIC$

Нас интересует площадь под гиперболой $xy = 12$ внутри этого квадрата, которая равна

1 ∫1 1 1 1 1 1 +ln2 √-- 2 + 2xdx= 2 + 2lnx|1∕2 =---2--= ln 2e 1∕2

Ответ:

$ln√2e$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#69865

В квадрате $ABCD$ со стороной $6$ расположена точка $O,$ отстоящая от сторон $AD$ и $CD$ на расстояние $2.$ Через точку $O$ совершенно случайно проводится прямая $L,$ разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что площадь одной из частей не превосходит $9.$

Показать ответ и решение

Случай $1 :$ прямая $L$ пересекает стороны $AD, DC$ квадрата $ABCD.$

Пусть $H,T$ — проекции $O$ на стороны $CD,AD,$ а в точках $X,Y$ прямая $L$ пересекает эти стороны.

Если $X =Y,$ то $X = Y = D,$ а прямая $L = OD$ делит квадрат на равные треугольники площадью по $18> 9.$ Поэтому точки $X,Y$ различны, прямая $L$ делит квадрат на треугольник и пятиугольник:

$PIC$

Обозначим $HX =x.$ С учётом $OT =OH =2$ и подобия $△HXO ∼ △TOY$ получаем $TY = 4x.$ Запишем условие на площадь:

( ) SXDY = STOHD +SHOX + STOY =4+ 1 2x+ 8 =4+ x+ 4 ≤9 2 x x

1≤ x≤ 4

Мы выяснили, что нам подходят $arctg 1≤ ∠HOX ≤arctg2. 2$

$∠HOX = arctg 1 2$ и $∠HOX = arctg2,$ как раз соответствуют случаям, когда $L$ проходит через $O$ и $A,O$ и $C$ соответственно.

Случай $2:$ прямая $L$ пересекается только с одной из сторон $AD,CD,$ то есть делит квадрат $ABCD$ на два четырёхугольника.

$PIC$

Покажем, что в таком случае площадь обоих частей $>9.$ Выше мы уже заметили, что в случае совпадения прямой $L$ с прямой $AO$ или в случае совпадения с прямой $CO$ площадь меньшей из отсекаемых частей в точности равна $9.$

Предположим, что прямая $L$ пересекает стороны $AB,CD.$ Пусть она пересекает $AB$ в точке $F,CD$ в точке $G.$ Треугольники $AOF, GSH$ подобны, при этом коэффициент подобия равен $-AO 2 OH = 1,$ поэтому $SAOF- AO-2 SGOH = (OH) = 4.$

Заметим, что если мы перейдем от прямой $AO$ к прямой $L,$ то площадь меньшей из частей увеличится на $SAOF − SGOH = 4S− S = 3S > 0.$ Но так как площадь $ADH =9,$ то площадь $ADGF =9 +3S >9.$

Случай, если $L$ пересекает стороны $AD,CD,$ разбирается аналогично (просто рассматривается прямая $CO$ вместо $AO$ ).

В результате получаем ответ

1 p= arctg2−-arctg2 π

Можно в числителе применить формулу разности арктангенсов

arctg 2−1∕2-- arctg 3 p =-----1+π2⋅1∕2= --π--4

Ответ:

$arctg-34 π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#98983

Ксюша, Ваня и Вася решили пойти в кино. Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с $15:00$ до $16 :00.$ Вася самый терпеливый: если он придёт и на остановке не будет ни Ксюши, ни Вани, то он будет ждать кого-нибудь из них $15$ минут, и если никого не дождётся, то пойдет в кино один. Ваня менее терпеливый: он будет ждать лишь $10$ минут. Ксюша самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Ваня и Вася встретятся, то они будут ждать Ксюшу до $16:00.$ Определить вероятность того, что в кино они пойдут все вместе.

Показать ответ и решение

Так как Ксюша не будет ждать остальных, то нам подходит только тот случай, когда Ксюша придет последней. Так как время прибытия ребят — независимые события, то вероятность того, что все ребята пойдут в кино будет равна произведению вероятности, что Ксюша придет последней и вероятности того, что Ваня и Ваня встретятся.

Вероятность, что Ксюша придет последней равна

2 1 3! = 3

Вероятность, что Вася и Ваня встретятся находится геометрически. Пусть $x$ — время прибытия Васи, а $y$ — время прибытия Вани. Тогда при $0 ≤x ≤60$ и $0≤ y ≤ 60:$

{ { y ≥ x или x≥ y y− x≤ 15 x− y ≤10

Нарисуем график исходя из этой системы:

$PIC$

Следовательно, вероятность того, что Ваня и Вася встретятся, равна

2 1 2 1 2 60-−-2 ⋅45-−2-⋅50-= 107- 602 288

В итоге вероятность того, что все пойдут в кино, равна

1 107 107 3 ⋅288 = 864

Ответ:

$107 864$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#69859

Ваня и Дима пошли на рынок. У Вани было $1000$ рублей, а у Димы — $2000$ рублей. Они покупали что-то независимо друг от друга, а в какой-то момент они встретились и решили купить модель танка за $1800$ рублей. Найдите вероятность того, что оставшейся у них суммы хватит на это. Замечание. Условие нужно понимать так: у обоих мальчиков в момент встречи равновероятно может оказаться любое количество рублей, не превосходящее исходной суммы.

Источники: ШВБ-2018, 9.3 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Визуализируем вероятности на координатной плоскости. Заметим, что, взяв в качестве длины одного деления $200,$ мы можем считать, что равновероятно находимся в каждой точке прямоугольника размера $5 ×10ABCD$ (или размера $1000× 2000$ ).

$PIC$

Нас интересует, когда $x +y ≥1800$ — на нашей плоскости это не ниже прямой $x +y = 9.$ Нетрудно посчитать, что она пересекает прямоугольник в точках $E(0,9),T(4,5).$ Тогда итоговый ответ можно найти, как отношение площадей

p= STEBC-= 1+26⋅5 =0.35 SABCD 50

Ответ:

$0,35$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#98979

Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером $15$ см на $20$ см круглую кляксу радиусом $2$ см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.

Показать ответ и решение

Так как клякса имеет радиус $2$ см, следовательно центр кляксы будет расположен внутри прямоугольника $11$ см на $16$ см. Чтобы кляксы пересекались нужно чтобы расстояние между центрами двух клякс было не больше $4$ см. Тогда вероятность того, что вторая клякса будет пересекаться с первой будет равна:

π ⋅42 π 11⋅16 = 11

Ответ:

$-π 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#98982

На окружности совершенно случайно взяты три точки $A,B$ и $C.$ Найдите вероятность того, что треугольник $ABC$ тупоугольный.

Показать ответ и решение

Зафиксируем точку $A$ на окружности. Пусть $β,γ$ — это дуги между точками $A,B$ и $B,C.$ $B$ лежит между $A$ и $C,$ тогда $γ > β.$

$PIC$

Тогда чтобы треугольник был тупоугольным, то есть один из углов был больше $∘ 90,$ должно выполнятся хотя бы одно из следующих условий:

⌊ ∘ | γ <180∘ ⌈ β >180 ∘ γ − β >180

Отобразим это на графике:

$PIC$

Тогда вероятность будет равна $3 4.$

Ответ:

$3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#99351

Однажды осенью Рассеянный Учёный глянул на свои старинные настенные часы и увидел, что на циферблате уснули три мухи. Первая спала в точности на отметке $12$ часов, а две другие так же аккуратно расположились на отметках $2$ часа и $5$ часов. Учёный произвёл измерения и определил, что часовая стрелка мухам не грозит, а вот минутная сметёт их всех по очереди. Найдите вероятность того, что ровно через $40$ минут после того, как Учёный заметил мух, ровно две мухи из трёх были сметены минутной стрелкой.

Источники: Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике, 2016, 4

Показать ответ и решение

Договримся называть мух — муха 2, муха 5 и муха 12 — по месту, где они заснули. Стрелка могла смести муху 12 и муху 2, но не тронуть муху 5, только если в момент первого наблюдения она располагалась в промежутке от 6 до 9 часов, что даёт $1 4$ круга. Смести только муху 2 и муху 5 стрелка могла, если только в момент первого наблюдения она располагалась между 12 и 2 часами. Это даёт $1 6$ круга. Наконец, стрелка могла смести только мух 5 и 12 в том случае, если вначале она располагалась между 4 и 5 часами, то есть на промежутке, занимающем $1- 12$ круга. Таким образом, считая все начальные положения стрелки равновозможными и учитывая равномерность её движения, получаем, что искомая вероятность равна

1 1 1 1 4 + 6 + 12 = 2.

Ответ:

$1 2$