Геометрическая вероятность
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В квадрате 
со стороной 
расположена точка 
отстоящая от сторон 
и 
на расстояние 
Через точку 
совершенно
случайно проводится прямая 
разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что площадь одной из частей не превосходит
Подсказка 1
Что мы можем сказать об отсекаемой части? Какой у нее минимум или максимум площади? Какой случай для нашей прямой мы можем зафиксировать и отталкиваться от него?
Подсказка 2
Пусть М и N - точки пересечения нашей прямой со сторонами квадрата! Тогда наименьшая площадь отсекаемого квадрата появляется тогда, когда MD = MN. Какая она? Если точки пересечения будут другие(Х и Y), как изменится наша площадь квадрата? Выражать удобнее через отрезки, полученные с помощью точек на сторонах квадрата (например, проекций точки О на AD и DC). Поворачивая нашу прямую вокруг точки О, мы меняем угол между XY и NM. Какие углы нам подходят?
Подсказка 3
Пусть Н и Т это проекции О на DC и AD. Мы понимаем, что прямая из подсказки 2 нам подходит. Выразив площадь DYX через отрезок HX, понимаем, что мы можем крутить прямую до HX = 1(почему?). Осталось лишь осознать, какие значения угла HOX нам подходят и записать ответ!)
Случай 
прямая 
пересекает стороны 
квадрата 
Пусть 
— проекции 
на стороны 
а в точках 
прямая 
пересекает эти стороны.
Обозначим 
С учётом 
и подобия 
получаем 
Запишем условие на
площадь:
Мы выяснили, что нам подходят 
и 
как раз соответствуют случаям, когда 
проходит через 
и 
и 
соответственно.
Случай 
прямая 
пересекается только с одной из сторон 
Покажем, что в таком случае площадь обоих частей 
Выше мы уже заметили, что в случае совпадения прямой 
с прямой 
или в случае совпадения с прямой 
площадь меньшей из отсекаемых частей в точности равна 
Предположим, что прямая 
пересекает стороны 
Пусть она пересекает 
в точке 
в точке 
Треугольники
подобны, при этом коэффициент подобия равен 
поэтому 
Заметим, что если мы перейдем от прямой 
к прямой 
то площадь меньшей из частей увеличится на 
Но так как площадь 
то площадь 
Случай, если 
пересекает стороны 
разбирается аналогично (просто рассматривается прямая 
вместо
).
В результате получаем ответ
Можно в числителе применить формулу разности арктангенсов
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
