Тема Геометрия помогает алгебре

Геометрическая вероятность

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия помогает алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98981

Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что из образовавшихся кусков можно составить треугольник.

Показать ответ и решение

Пусть длина палки — $L,$ тогда после того как мы ее сломаем у нас образуются 3 куска длины $x,y$ и $L− x− y.$ Чтобы из них можно было составить треугольник должны выполнятся следующие неравенства:

(| x+ y > L− x− y |||{ | x+ (L− x− y) >y |||( y+ (L− x− y)> x

После преобразований получаем:

(| x +y > L ||||| 2 { y < L |||| 2 ||( x< L- 2

Нарисуем график, который соответсвует данным неравенствам.

$PIC$

Отношение площади закращенной фигуры к площади треугольника и будет вероятностью искомого события.

1 L- L- 2 ⋅2-⋅2-= 0.25 1 ⋅L ⋅L 2

Ответ:

$0.25$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69860

Во время автогонок на пункте пит-стоп производят смену шин. Известно, что автомобиль $A$ может приехать на пит-стоп в период с $9 :30$ до $10 :30,$ и длительность смены шин составляет $10$ мин, а автомобиль $B$ — в период с $9:30$ до $10:20$ и пробудет на пункте 20 мин. Какова вероятность того, что автомобили $A$ и $B$ встретятся на пункте пит-стоп?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала введем координатные оси, отвечающие за время приезда каждой машины. Как удобнее всего это написать?

Подсказка 2

Будем считать, что одно деление по x или по y - это 10 минут, а начало координат по факту время 9:30. Тогда как будет выглядеть наше условие?

Подсказка 3

Время приезда для двух машин - это точка в прямоугольнике размером 5 на 6, а чтобы выполнялось условие, надо чтобы эта точка удовлетворяла двум условиям: y <= x+10 и x <= y+20. Осталось просто найти площади обеих фигур и посчитать их отношение)

Показать ответ и решение

Когда речь идёт о времени, удобно применить геометрический подход к вероятностям. Введём прямоугольник $ABCD$ размерами $5×6$ ( $50×60$ ), при этом в одном делении будет $10$ минут. Далее условия задаются с помощью $y ≤ x+ 10,x ≤y +20$ — то есть второй автомобиль приезжает не более, чем через $10$ минут после первого, а первый не более, чем через $20$ после второго.

$PIC$

А найти нужно площадь фигуры между прямыми и внутри нашего прямоугольника

p= SAKLCMN--= 30-− 16-=-7 SABCD 30 15

Ответ:

$-7 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69862

Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число $A$ из отрезка $[1,2]$ и заставляет программу решать уравнение $3x+ A =0.$ Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем $− 0,4.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вероятность это отношение удачных исходов ко всем возможным. Все возможные случаи это [1; 2], значит, нам осталось найти все А, подходящие под условие, что x < -0.4

Подсказка 2

Если подставить в уравнение x < -0.4, то мы получим необходимые A. Пересечение полученного неравенства с отрезком [1; 2] и будет всеми положительными исходами.

Показать ответ и решение

Нас просят найти вероятность того, что

A- A- − 3 < −0,4 ⇐⇒ 3 > 0,4 ⇐⇒ A > 1,2

Эта вероятность равна $2−1,2 -2−1 =0,8$ (делим длину подходящей части отрезка $[1;2]$ на его длину).

Замечание. Не важно, включаем мы точку $1,2$ или нет, вероятность от этого не меняется. Длина полуинтервала $(1,2;2]$ равна длине отрезка $[1,2;2].$ Взрывает мозг? Подумайте, какова вероятность, что компьютером выбрано число $A = 1,2.$

Ответ:

$0,8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69864

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги $ABCD.$ Митя называет сгиб красивым, если сторона $AB$ пересекает сторону $CD$ и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F.$ Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала нужно определить здесь, что является всеми возможными исходами, а что является положительными. Очевидно, что все возможные случаи расположения точки F - это вся плоскость квадрата, значит, нам нужно найти как именно мы можем проводить линию сгиба, так как все возможные линии сгиба в объединении образуют как раз все положительные исходы расположения точки F.

Подсказка 2

Давайте проведем линию сгиба, которая точно является красивой. Что мы можем сказать про треугольнике, которые образованы линией сгиба, диагональю и сторонами квадрата?

Подсказка 3

Такие треугольники будут равны по стороне и двум углам (докажите это, воспользовавшись равенством прямоугольных треугольников из условия «красоты» линии сгиба). Из равенства следует, что все красивые линии сгиба проходят через центр квадрата. Подумайте, как можно изобразить все красивые линии сгиба и какую часть от общей площади квадрата они займут.

Показать ответ и решение

$PIC$

Развернём красивый сгиб (правый рисунок). Пусть диагональ $BD$ и линия сгиба $ST$ пересекаются в точке $O.$ Треугольники $BSO$ и $DT O$ равны по стороне и двум углам. Значит, $BO = OD,$ и поэтому $O$ — центр квадрата. Таким образом, линия сгиба $ST$ проходит через центр квадрата. Очевидно, обратное также верно — если линия сгиба проходит через центр квадрата, то сгиб будет красивым.

Точка $S$ может занять любое положение между $B$ и $C,$ а точка $T$ при этом расположена между $D$ и $A.$ Значит, чтобы через точку $F$ можно было сделать красивый сгиб, нужно, чтобы точка $F$ принадлежала треугольнику $BOC$ или треугольнику $AOD.$

Площадь фигуры, ограниченной этими треугольниками, равна половине площади квадрата.

Ответ:

$0,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#98980

Поезд $A$ и поезд $B$ встречаются на перегоне в первой половине дня. Поезд $A$ прибывает на перегон между $08 :30$ и $09:30$ часами, стоит $10$ минут и уезжает. Поезд $B$ может прибыть в произвольное время с $08:30$ до $09 :20$ , и тоже стоит $10$ минут и уезжает. Какова вероятность того, что поезда встретятся на перегоне?

Показать ответ и решение

Изобразим графичеки времена прибытия поездов, где точка $(0,0)$ будет сопоставлена $8:30.$

$PIC$

Теперь вероятность события $A$ (встреча поездов во время перегонки) будет равна отношению площади выделенной фигуры к площади прямоугольника. Площадь прямоугольника:

S = 50⋅60= 3000

Прощадь выделенной фигуры находим, как разность прощадей:

(60-− 10)⋅50 (50−-10)⋅(60−-20)- SA = S− 2 − 2 = 950

В итоге

SA 950 19 P(A)= -S-= 3000-= 60

Ответ:

$19 60$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#69861

Трехметровая газовая труба проржавела в двух местах. Определить вероятность того, что все три получившиеся части можно будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе $75$ см от магистральной газовой трубы.

Источники: Газпром - 2022, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, пусть x, y и 300-x-y - это длины наших трех кусочков. Как теперь записать наше условие?

Подсказка 2

Понятно, что все случаи задаются так: 0 <= x <= 300, 0<= y<=300 и 0 <= 300-x-y <=300. А как задать фигуру, где все случаи буду подходящими в нашей задаче?

Подсказка 3

Это просто x>=75, y>=75, 300-x-y>=75! Осталось найти площади обеих фигур и посчитать отношение)

Показать ответ и решение

Пусть длины частей это $x,y,300− x − y.$ Очевидно, что $x,y ∈ [0,300]$ и $x+ y ≤ 300.$ Также запишем ограничения, которые следуют из расстояний между ржавчиной на трубе

( x≥ 75 x ≥75 |{ ⇐ ⇒ |( y ≥75 y ≥75 300− x− y ≥ 75 x +y ≤225

Введём координаты с длиной одного деления $5,$ получим прямоугольный треугольник $KLM,$ который удовлетворяет всем условиям.

$PIC$

Длина его катета равна $75,$ а длина катета $ABC$ равна $300$ — мы равновероятно находимся в каждом точке именно $△ABC$ (вместо прямоугольников, как раньше). Отсюда вытекает

2 p = SKLM-= 752-= 1- SABC 300 16

Ответ:

$-1 16$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#94762

Соревнование по бегу на непредсказуемую дистанцию проводится следующим образом. На круглой беговой дорожке случайным образом (с помощью вращающейся стрелки) выбираются две точки $A$ и $B$ , после чего спортсмены бегут из $A$ в $B$ по более короткой дуге. Зритель купил билет на стадион и хочет, чтобы спортсмены пробежали мимо его места (тогда он сможет сделать удачную фотографию). Какова вероятность, что это случится?

Источники: ФЕ - 2021, 11.5 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо бы понять, при каких расположениях точек А и В спортсмены пробегут мимо зрителя. Попробуйте нарисовать круговую дорожку и поотмечать такие пары точек, попробовать выявить критерий.

Подсказка 2

Давайте примем длину дорожки за единицу и обозначим длины дуг по часовой стрелке от А и В до зрителя за x и y. При каком условии на х, y спортсмены пробегут мимо зрителя?

Подсказка 3

Можем просто записать условие, что длина дуги, проходящая мимо зрителя, меньше длины второй дуги. Остаётся найти вероятность! Какие значения могут принимать x, y? Может быть, можем изобразить множество, соответствующее всем парам (x, y)? А каким будет множество подходящих пар?

Подсказка 4

Ага, множество пар — квадратик со стороной 1! И множество подходящих пар тоже можем изобразить: для этого нужно раскрыть модуль у нашего критерия на подходящие А и В. И остаётся посчитать площади и найти геометрическую вероятность!

Показать ответ и решение

Отождествим каждую точку дорожки с её расстоянием до зрителя по часовой стрелке. Тогда пары $(A,B)$ можно отождествить с парами чисел из $[0,1)$ (длину всей дорожки примем за единицу). При этом вероятность того, что $(A,B)$ принадлежит некоторому подмножеству $[0,1)×[0,1)$ , равна площади этого подмножества. Нас интересует множество таких $(A,B)$ , что $1 |A− B|> 2$ (в этом случае кратчайшая дуга проходит через 0), это пара треугольников общей площадью $1 4$ :

$PIC$

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#69863

В уравнении $ax= b$ параметры $a$ и $b$ выбираются наудачу соответственно из сегментов $0≤ a≤ m,0≤ b≤n.$ Какова вероятность того, что корень этого уравнения будет больше единицы при условии, что $m,n,a,b$ — натуральные числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что значит, что корень больше 1? И нужно ли нам рассматривать два случая в задаче?(ведь m может быть больше n, но может быть и наоборот)

Подсказка 2

Да, если корень больше единицы - это значит, что b больше a! Тогда давайте зададим координатную плоскость, где по одной оси будем откладывать все числа от 0 до n, а на другой - все числа от 0 до m! Тогда, если m ≤ n, то какие точки нам подойдут?

Подсказка 3

Верно, нам подойдут все точки(координаты которых натуральные числа), которые находятся выше прямой m = n. Тогда, точек которые не подходят под условие будет таких ровно m*(m+1)/2. Осталось найти вероятность и разобраться со случаем когда n > m!

Подсказка 4

Если n > m, то нам тоже подойдут все точки, которые лежат выше прямой m=n, но посчитать нужно немного по-другому! Остаётся найти вероятность в таком случае.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Корень уравнения $ax = b$ больше единицы при условии $b> a.$ Будем рассматривать параметры $a$ и $b$ как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости( $a$ — ось абцисс, $b$ — ось ординат). Поскольку $a$ и $b$ натуральные $a >0, b> 0$ и поэтому число всех возможных испытаний равно $m⋅n.$

$PIC$

Если $m ≤n$ то число исходов, не благоприятствующих рассматриваемому событию, равно

1+ 2+ 3+ ...+(m − 1)+ m = m(m-+1) 2

Значит, рассматриваемому событию благоприятствует

m-(m-+-1) mn− 2

исходов испытания, то есть $m- 2 (2n− m − 1)$ исходов. Поэтому вероятность $p$ находим из формулы

2n− m − 1 p= ---2n---

$PIC$

Если $m <n$ и $m > 2,$ то число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, равно

n(n−-1) 1+2+ 3+ ...+ (n − 1)= 2

Следовательно, $n− 1 p= -2m--$

Итого получаем $2n−-m-− 1, 2n$ если $m ≤n$ и $n−-1, 2m$ если $m > n.$

Второе решение.

Вероятность каждого значения $a ∈{1,...m}$ равна $1m,$ вероятность каждого значения $b$ по аналогии будет $1n.$ Нам требуется найти вероятность того, что $b> a$

min∑{m,n} ∑n 1 min{∑m,n} p= p(a) p(b)= nm- (n− a)= a=1 b=a+1 a=1

min{m,n}⋅n− min{m,n}(min{m,n}+1) = ------------nm-----2--------

Если $m ≤n,$ то получаем

m(m+1 ) mn-−---2---= 2n−-m−-1 nm 2n

Иначе

n2− n(n+1) n − 1 ---nm-2--= -2m-

Ответ:

$qn− q(q+21), nm$ где $q = min{m,n}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#98984

Точки $P,Q$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ так, что $AP :PB =2 :1,AQ :QC = 1:3.$ Точка $M$ выбрана на стороне $BC$ совершенно случайно. Найти вероятность того, что площадь треугольника $ABC$ превосходит площадь треугольника $PQM$ не более, чем в три раза.

Показать ответ и решение

$PIC$

Возьмем отношение $CM- CB$ за $x,$ тогда можно выразить площадь треугольника $P QM.$

SPQM = SABC − SAQP − SBPM − SCQM

SABC SABC ⋅(x− 1) SABC ⋅3x 6 − 5x SPQM = SABC −--6--− -----3-----− ---4----= SABC ⋅-12-

Тогда:

S 12 S-ABC ≤3 =⇒ 6−-5x ≤ 3 PQM

3(5x−-2)≤ 0 6− 5x

( ] ( ) x∈ −∞; 2 ∪ 6;+∞ 5 5

Но так как $CM <CB,$ потому что $M$ — точка на $CB,$ то $x ∈[0;1],$ а значит, нам подходит интервал $[0;2]. 5$ Вероятность того, что площадь треугольника $PQM$ будет не более чем в 3 раза меньше площади треугольника $ABC$ равна $2. 5$

Ответ:

$2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#46107

На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$ . Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не меньше трети площади треугольника $ABC$ .

Показать ответ и решение

Обозначим $BM :BA = x,BN :BC =y$ . Тогда имеем условие $SBMN-= xy ≥ 1 SABC 3$ , где $x,y$ равномерно распределены на отрезке $[0,1]$ . Представим это в виде квадрата $1× 1$ — выбор $(x,y)$ аналогичен выбору случайной точки из квадрата:

$PIC$

Нас интересует площадь над гиперболой $xy = 13$ внутри этого квадрата.

Гипербола пересекается с прямой $y = 1$ при $x= 13$ , поэтому для искомой площади нам нужно из площади прямоугольника $23 ⋅1$ вычесть площадь под гиперболой, которая равна

∫1 1 1 1 ln3 3xdx= 3 ⋅(ln1 − ln3)=-3 1∕3

Итак, получаем $2 ln3 3 − 3 .$

Ответ:

$2−ln3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#69865

В квадрате $ABCD$ со стороной $6$ расположена точка $O,$ отстоящая от сторон $AD$ и $CD$ на расстояние $2.$ Через точку $O$ совершенно случайно проводится прямая $L,$ разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что площадь одной из частей не превосходит $9.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что мы можем сказать об отсекаемой части? Какой у нее минимум или максимум площади? Какой случай для нашей прямой мы можем зафиксировать и отталкиваться от него?

Подсказка 2

Пусть М и N - точки пересечения нашей прямой со сторонами квадрата! Тогда наименьшая площадь отсекаемого квадрата появляется тогда, когда MD = MN. Какая она? Если точки пересечения будут другие(Х и Y), как изменится наша площадь квадрата? Выражать удобнее через отрезки, полученные с помощью точек на сторонах квадрата (например, проекций точки О на AD и DC). Поворачивая нашу прямую вокруг точки О, мы меняем угол между XY и NM. Какие углы нам подходят?

Подсказка 3

Пусть Н и Т это проекции О на DC и AD. Мы понимаем, что прямая из подсказки 2 нам подходит. Выразив площадь DYX через отрезок HX, понимаем, что мы можем крутить прямую до HX = 1(почему?). Осталось лишь осознать, какие значения угла HOX нам подходят и записать ответ!)

Показать ответ и решение

Случай $1 :$ прямая $L$ пересекает стороны $AD, DC$ квадрата $ABCD.$

$PIC$

Пусть $H,T$ — проекции $O$ на стороны $CD,AD,$ а в точках $X,Y$ прямая $L$ пересекает эти стороны.

Обозначим $HX =x.$ С учётом $OT =OH =2$ и подобия $△HXO ∼ △TOY$ получаем $TY = 4x.$ Запишем условие на площадь:

( ) SXDY = STOHD +SHOX + STOY =4 + 1 2x+ 8 =4+ x+ 4 ≤9 ⇐ ⇒ 1 ≤x ≤4 2 x x

Мы выяснили, что нам подходят $arctg 1≤ ∠HOX ≤arctg2. 2$

$∠HOX = arctg 1 2$ и $∠HOX = arctg2,$ как раз соответствуют случаям, когда $L$ проходит через $O$ и $A,O$ и $C$ соответственно.

Случай $2:$ прямая $L$ пересекается только с одной из сторон $AD,CD.$

$PIC$

Покажем, что в таком случае площадь обоих частей $>9.$ Выше мы уже заметили, что в случае совпадения прямой $L$ с прямой $AO$ или в случае совпадения с прямой $CO$ площадь меньшей из отсекаемых частей в точности равна $9.$

Предположим, что прямая $L$ пересекает стороны $AB,CD.$ Пусть она пересекает $AB$ в точке $F,CD$ в точке $G.$ Треугольники $AOF, GSH$ подобны, при этом коэффициент подобия равен $AO 2 OH-= 1,$ поэтому $S AO SAGOOFH-= (OH)2 = 4.$

Заметим, что если мы перейдем от прямой $AO$ к прямой $L,$ то площадь меньшей из частей увеличится на $SAOF − SGOH = 4S− S = 3S > 0.$ Но так как площадь $ADH =9,$ то площадь $ADGF =9 +3S >9.$

Случай, если $L$ пересекает стороны $AD,CD,$ разбирается аналогично (просто рассматривается прямая $CO$ вместо $AO$ ).

В результате получаем ответ

1 p= arctg2−-arctg2 π

Можно в числителе применить формулу разности арктангенсов

arctg-21+−21⋅1∕2∕2- arctg-34 p = π = π

Ответ:

$arctg-34 π$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#98983

Ксюша, Ваня и Вася решили пойти в кино. Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с $15:00$ до $16 :00.$ Вася самый терпеливый: если он придёт и на остановке не будет ни Ксюши, ни Вани, то он будет ждать кого-нибудь из них $15$ минут, и если никого не дождётся, то пойдет в кино один. Ваня менее терпеливый: он будет ждать лишь $10$ минут. Ксюша самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Ваня и Вася встретятся, то они будут ждать Ксюшу до $16:00.$ Определить вероятность того, что в кино они пойдут все вместе.

Показать ответ и решение

Так как Ксюша не будет ждать остальных, то нам подходит только тот случай, когда Ксюша придет последней. Так как время прибытия ребят — независимые события, то вероятность того, что все ребята пойдут в кино будет равна произведению вероятности, что Ксюша придет последней и вероятности того, что Ваня и Ваня встретятся.

Вероятность, что Ксюша придет последней равна

2 1 3! = 3

Вероятность, что Вася и Ваня встретятся находится геометрически. Пусть $x$ — время прибытия Васи, а $y$ — время прибытия Вани. Тогда при $0 ≤x ≤60$ и $0≤ y ≤ 60:$

{ { y ≥ x или x≥ y y− x≤ 15 x− y ≤10

Нарисуем график исходя из этой системы:

$PIC$

Следовательно, вероятность того, что Ваня и Вася встретятся, равна

2 1 2 1 2 60-−-2 ⋅45-−2-⋅50-= 107- 602 288

В итоге вероятность того, что все пойдут в кино, равна

1 107 107 3 ⋅288 = 864

Ответ:

$107 864$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#69859

Ваня и Дима пошли на рынок. У Вани было $1000$ рублей, а у Димы — $2000$ рублей. Они покупали что-то независимо друг от друга, а в какой-то момент они встретились и решили купить модель танка за $1800$ рублей. Найдите вероятность того, что оставшейся у них суммы хватит на это. Замечание. Условие нужно понимать так: у обоих мальчиков в момент встречи равновероятно может оказаться любое количество рублей, не превосходящее исходной суммы.

Источники: ШВБ-2018, 9.3 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте отобразим количество денег у ребят на координатной плоскости! То есть, по х отметим количество денег у Вани, а количество денег у Димы по y. Тогда с помощью координат каждой точки внутри прямоугольника (который образован исходным количеством денег у ребят) - мы можем посчитать количество денег, которое осталось у ребят!

Подсказка 2

Да, тогда мы можем сказать что у нас получился прямоугольник 5x10(так как у одного денег в два раза больше, чем у другого, то есть единичный отрезок равен 200 рублей). Тогда какие точки внутри этого прямоугольника нам подойдут?

Подсказка 3

Верно, все точки, координаты которых в сумме не меньше 9! То есть, все точки нужные нам лежат над прямой y=9 - x. Осталось посчитать площадь трапеции, лежащей над этой прямой и найти отношение полученной площади к площади прямоугольника!

Показать ответ и решение

Визуализируем вероятности на координатной плоскости. Заметим, что, взяв в качестве длины одного деления $200,$ мы можем считать, что равновероятно находимся в каждой точке прямоугольника размера $5 ×10ABCD$ (или размера $1000× 2000$ ).

$PIC$

Нас интересует, когда $x +y ≥1800$ — на нашей плоскости это не ниже прямой $x +y = 9.$ Нетрудно посчитать, что она пересекает прямоугольник в точках $E(0,9),T(4,5).$ Тогда итоговый ответ можно найти, как отношение площадей

p= STEBC-= 1+26⋅5 =0.35 SABCD 50

Ответ:

$0,35$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#98979

Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером $15$ см на $20$ см круглую кляксу радиусом $2$ см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.

Показать ответ и решение

Так как клякса имеет радиус $2$ см, следовательно центр кляксы будет расположен внутри прямоугольника $11$ см на $16$ см. Чтобы кляксы пересекались нужно чтобы расстояние между центрами двух клякс было не больше $4$ см. Тогда вероятность того, что вторая клякса будет пересекаться с первой будет равна:

π ⋅42 π 11⋅16 = 11

Ответ:

$-π 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#98982

На окружности совершенно случайно взяты три точки $A,B$ и $C.$ Найдите вероятность того, что треугольник $ABC$ тупоугольный.

Показать ответ и решение

Зафиксируем точку $A$ на окружности. Пусть $β,γ$ — это дуги между точками $A,B$ и $B,C.$ $B$ лежит между $A$ и $C,$ тогда $γ > β.$

$PIC$

Тогда чтобы треугольник был тупоугольным, то есть один из углов был больше $∘ 90,$ должно выполнятся хотя бы одно из следующих условий:

⌊ ∘ | γ <180∘ ⌈ β >180 ∘ γ − β >180

Отобразим это на графике:

$PIC$

Тогда вероятность будет равна $3 4.$

Ответ:

$3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#99351

Однажды осенью Рассеянный Учёный глянул на свои старинные настенные часы и увидел, что на циферблате уснули три мухи. Первая спала в точности на отметке $12$ часов, а две другие так же аккуратно расположились на отметках $2$ часа и $5$ часов. Учёный произвёл измерения и определил, что часовая стрелка мухам не грозит, а вот минутная сметёт их всех по очереди. Найдите вероятность того, что ровно через $40$ минут после того, как Учёный заметил мух, ровно две мухи из трёх были сметены минутной стрелкой.

Источники: Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике, 2016, 4

Показать ответ и решение

Договримся называть мух — муха 2, муха 5 и муха 12 — по месту, где они заснули. Стрелка могла смести муху 12 и муху 2, но не тронуть муху 5, только если в момент первого наблюдения она располагалась в промежутке от 6 до 9 часов, что даёт $1 4$ круга. Смести только муху 2 и муху 5 стрелка могла, если только в момент первого наблюдения она располагалась между 12 и 2 часами. Это даёт $1 6$ круга. Наконец, стрелка могла смести только мух 5 и 12 в том случае, если вначале она располагалась между 4 и 5 часами, то есть на промежутке, занимающем $1- 12$ круга. Таким образом, считая все начальные положения стрелки равновозможными и учитывая равномерность её движения, получаем, что искомая вероятность равна

1 1 1 1 4 + 6 + 12 = 2.

Ответ:

$1 2$

Предыдущий раздел

Следующий раздел