Стереометрия на Питергоре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре середины всех ребер лежат на одной сфере. Докажите, что его высоты пересекаются в одной точке.
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала разберём короткое условие. Какие выводы из него можно сделать? Середины рёбер, точки лежат на одной сфере... Не забывайте про планиметрию.
Подсказка 2
Да, конечно, если мы соединим середины сторон, то, во-первых, получится параллелограмм, а, во-вторых, к тому же прямоугольник. Первое выполняется из-за средних линий, а второе из-за вписанности. Как же это переносится на тетраэдр?
Подсказка 3
Верно, значит, что противоположные стороны тетраэдра перпендикулярны. Почему же этого достаточно, чтобы высоты тетраэдра пересекались в одной точке? Попробуйте провести вспомогательную хорошую плоскость через какое-то ребро. Дальше задача быстро закончится.
Пусть дан тетраэдр 
а 
— середины ребер 
и 
соответственно. Тогда прямые 
и 
параллельны
как средние линии треугольников 
и 
а прямые 
и 
параллельны 
как средние линии треугольников 
и 
Отсюда немедленно следует, что 
— параллелограмм. Но все его вершины лежат на сфере, поэтому он вписанный, т. е.
— прямоугольник. В силу параллельности сторонам прямоугольника прямые 
и 
перпендикулярны. Аналогично
и 
Докажем, что перпендикулярность противоположных сторон тетраэдра является достаточным условием того, что высоты тетраэдра
пересекаются в одной точке. Построим плоскость, проходящую через ребро 
перпендикулярно 
Высоты тетраэдра, опущенные из
точек 
и 
лежат в этой плоскости, и значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения через 
Высоты из вершин 
и 
также должны пересекать высоты из вершин 
и 
но так как они не лежат в плоскости 
пересекать их они могут только в точке
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
