Тема ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)

Стереометрия на Питергоре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71956

В пирамиде $SA A ...A 1 2 n$ все боковые рёбра равны. Точка $X 1$ — середина дуги $A A 1 2$ описанной окружности треугольника $SA A , 1 2$ точка $X2$ — середина дуги $A2A3$ описанной окружности треугольника $SA2A3$ и т. д., точка $Xn$ — середина дуги $AnA1$ описанной окружности треугольника $SAnA1.$ Докажите, что описанные окружности треугольников $X1A2X2,X2A3X3,...,XnA1X1$ пересекаются в одной точке.

$PIC$

Источники: СпбОШ - 2021, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте поймем, поизучаем сферу, описанную вокруг данной фигуры. Во-первых, почему вообще можно описать сферу? Во-вторых, где у неё центр?

Подсказка 2:

Вокруг многоугольника A₁A₂...Aₙ можно описать окружность, значит, вокруг всей фигуры можно описать сферу. Пусть центр сферы — это точка P. Она равноудалена от точек A, следовательно, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через S. Что мы можем сказать про точки X? Где они лежат?

Подсказка 3:

Они тоже лежат на этой сфере! Давайте попробуем угадать, где может находиться искомая точка. Попробуйте нарисовать фигуру и провести окружности.

Подсказка 4:

Давайте попробуем доказать, что искомая точка пересечения диаметрально противоположна S. Тогда нужно доказать, что N, X(k−1), X(k) и A(k) лежат на одной плоскости. Как это можно сделать?

Подсказка 5:

Воспользуемся тем, что N диаметрально противоположна S. Тогда угол SA(k)N прямой при всех A(k). Какие ещё углы равны 90 градусам?

Подсказка 6:

Углы SA(k)X(k) прямые, потому что S и X(k) диаметрально противоположны в окружности, описанной вокруг треугольника SA(k)X(k). Тогда SA перпендикулярно какой плоскости? Какие точки на ней лежат?

Показать доказательство

Заметим, что точки $A ,A ,...,A 1 2 n$ лежат и на сфере с центром в точке $S,$ и в одной плоскости. Следовательно, они лежат на окружности $ω,$ являющейся пересечением сферы с плоскостью. Пусть $O$ — центр этой окружности. Тогда $SO$ перпендикулярно плоскости основания и любая точка на прямой $SO$ равноудалена от всех точек окружности $ω.$ Поэтому на $SO$ найдётся и такая точка $P,$ для которой $P S = PA1.$ Тогда на сфере $σ$ с центром в точке $P$ и радиусом $PS$ лежат все вершины пирамиды, а также все окружности $SAkAk+1.$

$PIC$

Следовательно, на этой сфере лежат все точки $Ak$ и $Xk.$ Пусть $N$ — точка на сфере $σ,$ диаметрально противоположная точке $S.$ Покажем, что описанные окружности треугольников $Xk− 1AkXk$ проходят через точку $N.$ Поскольку точки $N, Xk−1,Xk$ и $Ak$ лежат на сфере, достаточно проверить, что они лежат на сфере, достаточно в одной плоскости. Эта плоскость перпендикулярна прямой $SAk$ и проходит через точку $Ak.$ В самом деле, $∠SAkN = 90∘,$ поскольку они опирается на диаметр $SN$ сферы $σ,∠SAkXk =90∘$ и $∠SAkXk −1 = 90∘,$ поскольку они опираются на диаметры $SXk$ и $SXk −1$ описанных окружностей треугольников $SAkXk$ и $SAkXk −1.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71302

В тетраэдре $PABC$ проведена высота $PH.$ Из точки $H$ на прямые $P A,PB$ и $PC$ опущены перпендикуляры $HA ′,HB ′$ и $HC′.$ Плоскости $ABC$ и $′′ ′ A B C$ пересекаются по прямой $ℓ.$ Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Докажите, что прямые $OH$ и $ℓ$ перпендикулярны.

$PIC$

Источники: СпбОШ - 2017, задача 11.5(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Заметим, что $PA⋅P A′ =P H2 = PB ⋅PB′,$ так что точки $A,B,A′,B′$ лежат на одной окружности. Пусть $T$ — точка пересечения прямых $AB$ и $′ ′ A B.$ Имеем

′ ′ 2 TA ⋅TB =TA ⋅TB =T H

последнее равенство выполнено в силу того, что прямая $TH$ — касательная к сфере с диаметром $P H,$ а $T B′A ′$ — секущая.

$PIC$

Таким образом, точка $T$ лежит на радикальной оси окружности, описанной около треугольника $ABC,$ и точки $H$ (это частный случай, когда одна из окружностей точка). На ней же лежат точки $BC ∩ B′C ′,AC ∩A′C′.$ Значит, прямая $ℓ= ABC ∩A′B′C′$ и есть эта радикальная ось. Она перпендикулярна линии центров $OH.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70506

В тетраэдре середины всех ребер лежат на одной сфере. Докажите, что его высоты пересекаются в одной точке.

Источники: СпбОШ - 2016, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала разберём короткое условие. Какие выводы из него можно сделать? Середины рёбер, точки лежат на одной сфере... Не забывайте про планиметрию.

Подсказка 2

Да, конечно, если мы соединим середины сторон, то, во-первых, получится параллелограмм, а, во-вторых, к тому же прямоугольник. Первое выполняется из-за средних линий, а второе из-за вписанности. Как же это переносится на тетраэдр?

Подсказка 3

Верно, значит, что противоположные стороны тетраэдра перпендикулярны. Почему же этого достаточно, чтобы высоты тетраэдра пересекались в одной точке? Попробуйте провести вспомогательную хорошую плоскость через какое-то ребро. Дальше задача быстро закончится.

Показать доказательство

Пусть дан тетраэдр $ABCD,$ а $P,Q,R,S$ — середины ребер $BD, AD,AC$ и $BC$ соответственно. Тогда прямые $RS$ и $PQ$ параллельны $AB$ как средние линии треугольников $ABC$ и $ABD,$ а прямые $P S$ и $QR$ параллельны $DC$ как средние линии треугольников $BDC$ и $ADC.$ Отсюда немедленно следует, что $P QRS$ — параллелограмм. Но все его вершины лежат на сфере, поэтому он вписанный, т. е. $P QRS$ — прямоугольник. В силу параллельности сторонам прямоугольника прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Аналогично $BD ⊥ AC$ и $BC ⊥AD.$

$PIC$

Докажем, что перпендикулярность противоположных сторон тетраэдра является достаточным условием того, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Построим плоскость, проходящую через ребро $DC$ перпендикулярно $AB.$ Высоты тетраэдра, опущенные из точек $D$ и $C,$ лежат в этой плоскости, и значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения через $H.$ Высоты из вершин $A$ и $B$ также должны пересекать высоты из вершин $D$ и $C,$ но так как они не лежат в плоскости $DHC,$ пересекать их они могут только в точке $H.$