Теория чисел на Питергоре

Обозначим выписанное число через Пусть  — это остаток от деления на (цифры могут быть нулями). Тогда будем рассматривать фрагментов десятичной записи числа соответствующие пятизначным числам вида Эти фрагменты расположены в записи числа подряд, причем для каждого из фрагментов количество знаков после кратно пяти, так как после в записи числа идут две цифры и  рассматриваемого фрагмента, потом идет много групп по цифр, соответствующих пятизначным числам, а потом — еще три шестизначных числа ( и ).

Если мы заменим один из фрагментов двумя нулями, число в результате этой замены уменьшится на Осталось выбрать тот фрагмент для которого множитель дает остаток при делении на  — тогда разность

будет делиться на что нам и требуется. Этот выбор возможен, так как мы выбираем из подряд идущих значений показателя степени  а остатки по модулю образуют чисто периодическую последовательность с периодом не больше

Пусть — один из искомых набров. Пусть Тогда для любых четырех элементов верно

что равносильно

таким образом набор так же удовлетворяет условию. Тем самым, мы показали, что достаточно найти лишь те наборы, НОД всех элементов которого равен

Пусть и нашлись два не взаимно простых элемента набора и пусть — некоторый общий простой делитель. Пусть — некоторые элементы набора. Тогда

вычитая, получим, что В силу произвольности выбора мы можем показать, что каждый элемент набора кратен что влечет противоречие, таким образом, все элементы набора попарно взаимно просты.

Пусть в наборе присутствует число в разложении которого присутствует простой делитель Тогда для любых элементов набора верно, что

следовательно, кроме этого

следовательно,

в силу получили противоречие.

Таким образом, единственным простым делителем элементов множества может является несложно показать, что степень вхождения в элемент набора, отличный от равна Прямой проверкой убедимся, что множества являются подходящими.