Тема Росатом

Уравнения с модулями и корнями на Росатоме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119624

Целые числа $x$ и $y$ связаны уравнением $2x− 3y = 1$ и имеют вид $x= 12a+ b√5,y = ba−1+ 3√5$ для некоторых чисел $a$ и $b.$ Найти $x,y$ и $a,$ если известно, что число $b$ рациональное.

Источники: Росатом - 2025, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данный момент у нас есть 3 уравнения и 4 переменные. Можно ли как-то уменьшить количество переменных, использую условие?

Подсказка 2

Одно из уравнений — линейное и целочисленное. Давайте выразим его общее решение через некоторую новую переменную (например, t) и будем использовать её вместо х и у.

Подсказка 3

Итак, теперь переменных 3. Давайте посмотрим на два других уравнения. В одном есть слагаемое с a, а в другом с числом, обратным а. Не возникает ли у вас желания перенести эти слагаемые в одну сторону, остальное — в другую и перемножить уравнения? Останется всего лишь две переменные.

Подсказка 4

Теперь давайте вспоминать про рациональность b. Посмотрите внимательно на равенство, которое получилось. В левой части находится выражение вида m + n√5 = h, где m, n, h — рациональные, а вот √5 — не очень рациональный. Какие соотношения для m, n, h должны выполняться, чтобы равенство было верным?

Показать ответ и решение

Общее решение в целых числах уравнения $2x − 3y = 1$ имеет вид $x= 3t− 1$ , $y = 2t− 1$ , где $t$ – целое число. Перепишем уравнения:

{ √- 3t− 1− b√5= 12a− 1 2t− 1− 3 5= ba

Перемножим эти два уравнения:

√ - √- (3t− 1− b 5)(2t− 1− 3 5)= 12b

(3t− 1)(2t− 1)+ 15b− √5(3(3t− 1)+ b(2t− 1))= 12b

Из рациональности $b$ следует, что равенство возможно только если

{ 3(3t− 1)+b(2t− 1)= 0 (3t− 1)(2t− 1)+ 15b= 12b

Выразим $b$ из каждого уравнения:

3(3t−-1) (3t− 1)(2t−-1) b= − 2t− 1 = − 3

(2t− 1)2 =9

[ t= 2 t= −1

Рассмотрим возможные варианты.

Случай 1. $t =2$ :

{ x= 3t− 1= 5 5(1+ √5) y = 2t− 1= 3 ⇒ b=− 5⇒ a= ---12---

Случай 2. $t =− 1$ :

{ √- x= 3t− 1=− 4 ⇒ b= −4 ⇒ a= -5−-1 y = 2t− 1 =− 3 3

Ответ:

$x = 5, y = 3, a = 5(1+-√5); x =− 4, y = −3, a = √5−1 1 1 1 12 2 2 2 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68076

Найти все целые решения уравнения

√---- √- (√ - )2022 n+ 1− n = 2− 1

Источники: Росатом-2023, 11.3, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала обратим внимание на данные нам числа. Что в них можно увидеть особенного? Что если записать числа в левой части без корня?

Подсказка 2

Верно, без корней они дают разницу единицу, так как отличаются на 1. Но ведь мы можем это сделать, нужно только умножить число на сопряжённое и разделить, чтобы ничего не поменялось. Тогда какое выражение с точки зрения функции у нас получилось? Сколько решений имеет это уравнение?

Подсказка 3

Ага, слева у нас получилась убывающая функция, а справа константа. Откуда это уравнение имеет не более одного решения. Давайте попробуем составить систему из двух уравнений. Что тогда у нас получится?

Подсказка 4

Верно, аналогичными преобразованиями с сопряжёнными числами, получим второй уравнение, а дальше большое страшное n. Осталось понять, почему оно целое. А нельзя ли просто раскрыть скобки по биному Ньютона и посмотреть, что получится? Попробуйте это сделать, и задача решена!

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть уравнения имеет смысл при $n ≥0$ Выполним преобразование в левой части:

√---- √- (√n-+1-− √n-)(√n-+1+ √n) 1 n+ 1− n = ------√n+-1+-√n-------= √n+-1+-√n-

Следовательно, $√---- - n+ 1− √n$ монотонно убывает с ростом $n$ , а значит, рассматриваемое уравнение имеет не более одного решения. Учитывая, что $( )( ) √2 − 1 √2 +1 =1$ , имеем равносильное исходному уравнение $( ) √n-+-1+√n-= √2+ 1 2022$ . Тогда получим

( { √n+-1− √n =(√2− 1)2022 √- √- 2022 √- 2022 ( √n+-1+ √n =(√2+ 1)2022 ⇒ 2 n =( 2 +1) − (2 − 1) ⇒

( (√2-+1)2022− (√2-− 1)2022)2 ⇒ n= ---------2-----------

Покажем, что найденное число является целым (натуральным). Имеем по биному Ньютона

( √- √- )2 (20∑22 k 20∑22 k)2 ( 2+ 1)2022− ( 2− 1)2022 = Ck202222 − (−1)kCk202222 = k=0 k=0

( √- 10∑10 )2 = 2 2 C220k+212 2k , k=0

отсюда

( √- 2022 √ - 2022)2 (√ -10∑10 )2 (10∑10 )2 n= (-2-+1)---−-(-2− 1)-- = 2 C22k02+21 2k =2 C22k02+21 2k ∈ℤ 2 k=0 k=0

Ответ:

$1 ((√ )2022 (√- )2022)2 4 2+ 1 − 2− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69996

Решите уравнение:

|| ∘ ----2|| √- ∘ ----2- |2x − 1− 4x |= 4 2⋅x⋅ 1− 4x

Источники: Росатом-2023, 10.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем с базовых вещей. Напишите ОДЗ и подумайте, как на этих ограничениях грамотно избавиться от модуля

Подсказка 2

Конечно, необходимо возвести обе части в квадрат и сделать преобразования. Заметим, что выражение 1-4x² встречается в обеих частях уравнения. Хочется сделать замену, однако если заменить t = sqrt(1-4x²), получим уравнение с двумя неизвестными, зависящими друг от друга, что плохо. Какая замена будет более удобной?

Подсказка 3

Замена: t = 4x * sqrt(1-4x²). Осталось дорешать квадратное уравнение на t, затем биквадратное на x и не забыть проверить все ограничения!

Показать ответ и решение

Уравнение эквивалентно системе

(| x≥ 0 |{ 2 ||( 1(− 4x√≥-0--)2 ( √- √-----)2 ⇐ ⇒ 2x − 1− 4x2 = 4 2x 1− 4x2

( |{ x≥ 0[ 1 1] |( x∈2 − 2;√2----2 2 2( 2) 4x − 4x 1− 4x + 1− 4x = 32x 1 − 4x

В итоге получаем

{ x∈[0;1] −4x√12−-4x2-+1= 32x2(1 − 4x2)

Введем переменную $t= 4x√1-− 4x2, t≥ 0$ . Тогда уравнение принимает вид

2 −t+ 1= 2t

2 2t +t− 1= 0

Решая квадратное уравнение, находим $t= −1, t= 1 2$ . С учетом неотрицательности $t$ , выбираем $t= 1 2$ . В итоге получаем уравнение для нахождения $x$