.04 Графики функций при помощи элементарных методов

a) Синус является всюду определенной функцией, а вот арксинус, который стоит внутри - определен только для . Следовательно, эта композиция , разумеется, равна , но только на своей области определения - то есть на . Следовательно, график получаем вот такой:

b) Арксинус определен только для , но внутренняя функция - синус - и принимает значения лишь из этого диапазона. Следовательно, определен на всём , и график, заметьте(!) будет уже другой!

А именно, поскольку при по определению арксинуса будем иметь, что

Далее, при нам нужно будет прибегнуть к небольшому трюку, чтобы считать арксинус от синуса:

Поэтому на этом участке у нас будет отрезок прямой . Ну а дальше - осталось просто повторить всё по периоду, поскольку наша функция, очевидно, периодична.

c) Ясно, что, поскольку у арккосинуса - это , то наш график будет строиться только для этих аргументов.

Далее, понятно, что при по основному тригонометрическому тождеству:

Однако не забываем, что , таким образом,

(мы берем корень только с плюсом, потому что аркконсинус возвращает только углы от до , а синус от этих углов - неотрицателен)

Таким образом, искомый график - это всего лишь график - то есть верхняя половина единичной окружности с центром в начале координат.