Тема ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)

Уравнения, неравенства и системы на Питергоре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71902Максимум баллов за задание: 7

Положительные иррациональные числа $α$ и $β$ таковы, что при всех $x >0$ выполнено равенство $[α[βx]]= [β[αx]].$ Докажите, что $α =β.$

Источники: СпбОШ - 2018, задача 11.6(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения с целой/дробной частью полезно сравнивать с некоторым целым числом, пусть это число n. Какие ограничения тогда накладываются на x?

Подсказка 2

С одной стороны x ≥ |n/a|/b, а с другой? ( обозначение: |m| — наименьшее целое число, которое больше либо равно x)

Подсказка 3

Для любого x выполняется условие x ≥ |n/a|/b и x ≥ |n/b|/a, но эти неравенства следуют из одного и того же равенства. Что это значит?

Подсказка 4

|n/a|/b = |n/b|/a. Докажите, что так бывает лишь при a = b.

Показать доказательство

Введём обозначение: будем считать, что нам даны два таких иррациональных параметра $α$ и $β,$ что при всех $x >0$ выполнено равенство $1 1 -11 [α[βx]]= [β [αx]].$ По-прежнему требуется доказать, что $α =β.$
Обозначим через $⌈x⌉$ верхнюю целую часть числа $x,$ т.е. наименьшее целое число, которое больше либо равно $x.$ Положим $1 1 fα,β(x)= [α[βx]]$ и найдём, при каких натуральных $n$ выполняется неравенство $fα,β(x) ≥n.$ Имеем

[1[ 1 ]] 1 [1 ] fα,β(x)≥n ⇔ α- βx ≥n ⇔ α- βx ≥ n⇔

[ ] [ ] ⇔ 1x ≥ αn ⇔ 1x ≥ ⌈αn⌉⇔ 1x ≥⌈αn⌉⇔ x ≥β⌈αn⌉. β β β

Аналогично неравенство $fβ,α(x)≥ n$ равносильно неравенству $x ≥α ⌈βn⌉.$ Поскольку $fβ,α(x)= fα,β(x),$ мы приходим к выводу, что при всех натуральных $n$ выполняется равенство $β⌈αn⌉=α⌈βn⌉,$ или

α-= ⌈αn⌉- β ⌈βn⌉

Теперь понятно, что это равенство верно только при $α= β.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71269Максимум баллов за задание: 7

Числа $x,y,z,t∈ (0,π∕2]$ удовлетворяют условию

2 2 2 2 cos x+ cos y+ cos z+ cos t= 1.

Какое наименьшее значение может принимать величина

ctgx+ ctgy +ctgz+ ctgt?

Источники: СпбОШ - 2017, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, нам не зря дано, в какой четверти тригонометрической окружности лежат x, y, z и t. Как это можно применить?

Подсказка 2

Что если попробовать сравнить котангенс с тем самым квадратом косинуса? Это можно сделать как раз таки с использованием области значений тригонометрических функций!

Подсказка 3

Вот и получилось у нас нестрогое неравенство! Осталось лишь понять, когда тут достигается равенство и предъявить конкретные значения переменных.

Показать ответ и решение

Заметим, что

cosx 2cos2x 2cos2x 2 ctgx = sinx-=2-sinxcosx = -sin2x-≥ 2cos x.

Следовательно,

( ) ctgx +ctgy+ ctgz+ ctgt≥ 2 cos2x+ cos2y+ cos2z+ cos2t = 2.

Стало быть, интересующая нас сумма всегда не меньше $2.$ С другой стороны, если $π x= y = 4$ и $π z =t= -2,$ то

1 cos2x+ cos2y+ cos2z+ cos2t= 2⋅2 +2⋅0 =1 ctgx+ ctgy+ ctg z+ctgt= 2⋅1+2⋅0 =2.

Ответ:

Наименьшее значение равно $2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70347Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют условиям $x2+ y2 = 1$ и $20x3− 15x =3.$ Найдите $|20y3− 15y|.$

Источники: СпбОШ - 2015, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не напоминает ли нам первое условие какую-нибудь теорему из области тригонометрии? Возможно, это даст нам неплохую идею для замены!

Подсказка 2

Итак, первое уравнение позволяет нам заменить одну из переменных на синус, а вторую — на косинус. Но что же делать дальше? Какую формулу напоминает второе условие, после вынесение общего множителя слева за скобки?

Подсказка 3

Удивительно! Второе условие и неизвестное выражение очень напоминают нам тригонометрические формулы для тройных углов, с точностью до умножения на коэффициент. Осталось лишь чуть-чуть повычислять, снова вспомнить об ОТТ и задача решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подберём $α$ таким образом, чтобы выполнялось равенства $x= sin(α),y = cos(α).$ Тогда $3 3 sin(3α)= 3sin(α)− 4sin (α)=3x− 4x = −3∕5.$ Следовательно,