Тема . Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Тождественные преобразования и функции на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107194

Положительные числа x  и y  таковы, что значение выражения

    1  1   2-
K = x +y + xy

не изменяется, если x  уменьшить на 1 , а y  — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения

M  =x3− y3− 3xy.

Источники: Физтех - 2025, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Из условия следует, что выполняется равенство

1  1   2    1      1        2
x + y + xy-= x−-1 + y+-1 + (x−-1)(y+-1)

Преобразуя, получаем:

(        )  (        )   (               )
  -1--− 1 +  --1- − 1 + 2 -----1---- − 1- = 0
  x− 1  x    y +1   y     (x− 1)(y+ 1)  xy

---1-- − --1---+ 2⋅--y-− x-+1--
x(x− 1)  y(y+ 1)    xy(x − 1)(y+ 1)

y(y +1)− x(x− 1)+2(y− x+ 1) =0

(y+ x+ 2)(y− x +1)= 0

Так как x  и y  — положительные числа, первый множитель положителен, поэтому второй множитель равен нулю, т.е. x =y +1  . Значит,

x3− y3 − 3xy = (y +1)3− y3 − 3y(y +1)= 1.
Ответ: 1

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!