Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Тождественные преобразования и функции на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107194

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения

1 1 2- K = x +y + xy

не изменяется, если $x$ уменьшить на 1 , а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения

M =x3− y3− 3xy.

Источники: Физтех - 2025, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте честно уменьшим x на 1, а y увеличим на 1. Какое выражение получится? Запишем уравнение!

Подсказка 2

Имеет смысл попробовать перенести все в одну часть и попробовать разложить на множители, чтобы как-то связать x и y.

Подсказка 3

Отлично, x = y + 1. Как тогда выглядит выражение из условия?

Показать ответ и решение

Из условия следует, что выполняется равенство

1 1 2 1 1 2 x + y + xy-= x−-1 + y+-1 + (x−-1)(y+-1)

Преобразуя, получаем:

( ) ( ) ( ) -1--− 1 + --1- − 1 + 2 -----1---- − 1- = 0 x− 1 x y +1 y (x− 1)(y+ 1) xy

---1-- − --1---+ 2⋅--y-− x-+1-- x(x− 1) y(y+ 1) xy(x − 1)(y+ 1)

y(y +1)− x(x− 1)+2(y− x+ 1) =0

(y+ x+ 2)(y− x +1)= 0

Так как $x$ и $y$ — положительные числа, первый множитель положителен, поэтому второй множитель равен нулю, т.е. $x =y +1$ . Значит,

x3− y3 − 3xy = (y +1)3− y3 − 3y(y +1)= 1.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105455

Дана линейная функция $f(x).$ Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y = x2+ 1$ и $y = f(x)$ равно $3√2,$ а расстояние между точками пересечения графиков $2 y =x$ и $y = f(x)− 2$ равно $√ -- 10.$ Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $2 y = x$ и $y = f(x).$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте нашу линейную функцию запишем как ax + b. Как найти её точки пересечения с указанными параболами?

Подсказка 2

По сути, точки пересечения — это решения у x² + 1 = ax + b. А помним ли мы, как быстро найти расстояние между абсциссами решений квадратного уравнения?)

Подсказка 3

Расстояние между корнями квадратного уравнения равно корню из дискриминанта! Тогда мы сможем записать систему уравнений на расстояния из условия и найти a² и b ;)

Подсказка 4

Здорово, a² = 1, b = 3. Осталось лишь найти нужное расстояние, используя уже знакомые нам инструменты :)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= ax +b$ . Тогда абсциссы точек пересечения графиков в первом случае определяются из уравнения $x2+1 =ax +b$ , а во втором случае — из уравнения $2 x = ax +b− 2.$

Рассмотрим первый случай подробнее. Уравнение имеет вид $2 x − ax+ 1− b=0$ , откуда

a ±√a2+-4b−-4 ∘ -------- x1,2 =------2------; |x2− x1|= a2+ 4b− 4

Так как точки пересечения графиков лежат на прямой с угловым коэффициентом $a$ , то расстояние между точками в $√ ----- a2 +1$ раз больше, чем $|x2− x1|$ . Значит, расстояние между точками равно корню из соответствующего дискриминанта, то есть

∘ ---------------- (a2+ 1)(a2+ 4b− 4)

Аналогично находим, что во втором случае расстояние между точками равно $∘ ---------------- (a2+ 1)(a2+ 4b− 8)$ . Из условия получаем систему уравнений

{ ( )( ) a(2+ 1)a(2+ 4b− 4) =9⋅2, a2+ 1 a2+ 4b− 8 =10,

10(a2+4b− 4)= 18(a2+4b− 8)

2 2 5(a + 4b − 4)= 9(a + 4b− 4)− 36

2 a + 4b − 4= 9

a2+1 =2

b=3

Найдём искомое расстояние. Абсциссы точек пересечения определяются уравнением $2 x − ax − b= 0$ , для него $√-2---- √----- |x2− x1|= a + 4b= 1+ 12$ , а расстояние между самими точками пересечения есть $√-2--- √-- √- |x2 − x1| a + 1= 13⋅ 2.$

Ответ:

$√26$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#79129

Две параллельные касательные к графику функции $y = x3− 6$ пересекают оси координат: первая — в точках $A$ и $B$ , вторая — в точках $C$ и $D$ . Найти площадь треугольника $AOB$ , если известно, что она в четыре раза меньше площади треүгольника $COD$ ( $O$ — центр координат).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть касательные касаются графика в точках х₁ и х₂. В условии сказано, что касательные пересекают оси координат, а решение задачи завязано на площадях полученных треугольников. Было бы здорово получить уравнения для нахождения площади каждой фигуры. Как мы можем это вывести?

Подсказка 2

Конечно, на координатной плоскости легко вычислить площадь треугольника, зная координаты его вершин. Их получим из уравнения касательных. Тогда можно легко найти формулы площадей и записать их отношение!

Подсказка 3

Далее вспомните про условие параллельности касательных. Что это нам даёт?

Подсказка 4

Конечно, коэффициенты при х равны! При этом не забывайте, что прямые разные, то есть х₁ и х₂ (точки касания) не равны.

Показать ответ и решение

Пусть $x 1$ — точка касания, тогда