Уравнения и неравенства на Курчатове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный треугольник с натуральными длинами сторон. Пусть 
— его острый угол, а угол 
таков, что 
Докажите, что величина 
рациональна.
Источники:
Подсказка 1
Давайте обозначим катеты через p и q. Соответсвенно, тангенс будет равен p/q. Теперь попробуйте расписать тангенсы двойного и тройного углов.
Подсказка 2
Получилось что-то совсем неприятное, слева — выражение от tgβ, справа — выражение от p и q. Как насчёт того, чтобы обозначить это выражение через n и попытаться понять, при каких n уравнение относительно tgβ будет иметь рациональные корни?
Подсказка 3
Нетрудно заметить, что это уравнение относительно tgβ является квадратным. Значит, для его рациональности достаточно лишь проверить, что дискриминант является квадратом рационального числа. При проверке не забывайте, что гипотенуза тоже имеет рациональную длину!
Пусть катеты треугольника будут 
и 
тогда 
По формулам двойного и тройного аргументов получаем следующие
формулы:
Значит, 
Это уравнение имеет рациональные корни тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного
уравнения будет точным квадратом. Вычисляя дискриминант, находим
Видно, что это число является квадратом рационального числа, поскольку гипотенуза тоже натуральное число, а значит, 
тоже
точный квадрат.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
