Тема Курчатов

Уравнения и неравенства на Курчатове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120650

Дан прямоугольный треугольник с натуральными длинами сторон. Пусть $α$ — его острый угол, а угол $β$ таков, что $tg2β = tg3α.$ Докажите, что величина $tgβ$ рациональна.

Источники: Курчатов - 2025, 11.1 ( см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим катеты через p и q. Соответсвенно, тангенс будет равен p/q. Теперь попробуйте расписать тангенсы двойного и тройного углов.

Подсказка 2

Получилось что-то совсем неприятное, слева — выражение от tgβ, справа — выражение от p и q. Как насчёт того, чтобы обозначить это выражение через n и попытаться понять, при каких n уравнение относительно tgβ будет иметь рациональные корни?

Подсказка 3

Нетрудно заметить, что это уравнение относительно tgβ является квадратным. Значит, для его рациональности достаточно лишь проверить, что дискриминант является квадратом рационального числа. При проверке не забывайте, что гипотенуза тоже имеет рациональную длину!

Показать доказательство

Пусть катеты треугольника будут $p$ и $q,$ тогда $tgα= p. q$ По формулам двойного и тройного аргументов получаем следующие формулы:

2tgβ tgα(3− tg2α) p(3q2 − p2) 1−-tg2β-= tg2β =tg3α= --1−-3tg2α--= q(q2− 3p2) :=n

Значит, $tg2β +2ntgβ − 1= 0.$ Это уравнение имеет рациональные корни тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения будет точным квадратом. Вычисляя дискриминант, находим

( ) D ∕4 =n2+ 1= p(3q2− p2) 2+ 1=-(p2+q2)3- q(q2− 3p2) p2(3q2− p2)2

Видно, что это число является квадратом рационального числа, поскольку гипотенуза тоже натуральное число, а значит, $2 2 p + q$ тоже точный квадрат.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120666

Найдите все тройки вещественных чисел $x,y,z,$ для которых справедливо равенство множеств:

{ x− y y− z-z-− x} {x,y,z}= y− z ,z− x,x − y

Источники: Курчатов - 2025, 11.6 ( см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть, какими могут быть искомые вещественные числа: положительными или отрицательными.

Подсказка 2

Если перемножить xyz в левой части равенства множеств, мы увидим, что оно равно 1, так как равно перемноженной правой части. Тогда попробуйте рассмотреть несколько случаев, связанных с сравнением между собой переменных и 0.

Подсказка 3

Попробуйте составить систему уравнений, руководствуясь сравнением дробей с нулем и друг между друг другом. Попробуйте рассмотреть их числители и знаменатели.

Показать ответ и решение

Заметим, что $xyz = x−-y⋅ y−z⋅ z−x =1, y− z z−x x−y$ поэтому среди чисел $x,$ $y$ и $z$ либо два отрицательных и одно положительное, либо все положительные. Без ограничения общности будем считать, что число $x$ — наибольшее, тогда ясно, что числа $x−y- y−z$ и $y−-z z− x$ имеют разные знаки, значит, $x >0 >y,z.$ Разберем два случая.

Случай 1. $x> 0> y > z$ . В этом случае легко видеть, что $y−z x−-z x−z < x− y$ (числитель меньше числителя, знаменатель больше знаменателя, и все разности положительны). Поэтому $y−z z−-x 0 >z−x > x−y$ и

( |||{ xy − xz =x− y | yz − yx= y− z ||( zx − zy = z− x

Домножая на знаменатели, получаем систему из трех уравнений:

( ||| xy − xz =x− y { yz − yx= y− z |||( zx − zy = z− x

Заметим, что сумма трех этих равенств равна $0,$ поэтому можно рассматривать только первые два. Выражая из второго равенства переменную $y,$ находим $-z--- y = x− z+1.$ Подставляя это выражение в первое равенство и упрощая, получаем:

−1− x − 1 z =--x--, y =1-+x

Когда переменная $x$ будет пробегать все возможные положительные значения, эти две формулы будут описывать соответствующие значения переменных $y$ и $z.$

Заметим, что мы рассматривали случай, когда переменная $x$ — наибольшая. Если придать переменной $x$ отрицательные значения, полученные формулы будут давать ответ в ситуациях, когда наибольшей является переменная $y$ или $z.$ Таким образом, первая серия ответов выглядит следующим образом:

( ) (x,y,z)= t,−--1-,− 1+-t , t∈ℝ ∖{0,−1} t+ 1 t

Случай 2. $x > 0> z > y.$ В этом случае мы получаем аналогичную серию равенств:

x = y− z-, y = x−-y, z = z− x z− x y− z x− y

Домножая на знаменатели, получаем систему из трех уравнений:

( |||{ xz− x2 =y− z | y2− yz = x− y ||( zx − zy = z− x

Складывая эти равенства, получаем формулу $(x− y)(x+ y− 2z)= 0.$ Учитывая, что $x ⁄=y,$ находим $2z = x+ y.$ Тогда $z− x =y − z,$ и первое уравнение нашей системы переписывается в виде $x(z− x)= z− x.$ Вновь вспоминая, что $x⁄= z,$ находим $x =1.$ Остается решить несложную систему:

( {z− yz = z− 1 ( y+ 1= 2z

Решая ее, находим ответ $y = −2$ и $z = − 1 2$ (мы учитываем, что $z >y).$

Вновь циклически переставляя найденные ответы, получаем еще три тройки:

( 1) ( 1 ) ( 1 ) 1,−2,−2 , − 2,1,−2 , −2,−2,1

Ответ:

$(x,y,z)= (t,−-1-,− 1+t), t∈ ℝ∖ {0,−1} t+1 t$

$( 1) ( 1 ) ( 1 ) 1,−2,−2 , − 2,1,−2 , −2,−2,1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78976

Положительные числа $a,b$ и $c$ таковы, что выполнены равенства

2 2 2 2 2 2 a +ab+ b =1, b+ bc+c = 3, c + ca +a = 4.

Найдите $a +b+ c$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного остановим свой взгляд на равенства из условия. Можно сказать, что нам дали идентичные выражения. Где ещё с таким видом равенств вы могли встречаться?

Подсказка 2

Точно, это же теорема косинусов для угла в 120 градусов. Так давайте же попробуем это изобразить на рисунке. Какая фигура там получается?

Подсказка 3

Верно, получается прямоугольный треугольник, а внутри него точка, из которой все стороны видны под углом 120 градусов. Причём расстояние от точки до вершин треугольника и есть наши a, b, c. А у нас просят найти их сумму. Хм, чтобы тогда хорошо сделать... Что будет с нашими отрезками, если повернуть наш треугольник на 60 градусов вокруг вершины с углом 90 градусов?

Подсказка 4

Верно, если посчитать углы и воспользоваться простым свойствами поворота, то получится, что наши отрезки "выпрямляются". То есть мы получили треугольник с известным углом и смежными сторонами, а напротив как раз то, что надо найти. Осталось только воспользоваться известной теоремой, и победа!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Отложим из одной точки $T$ отрезки $TA, T B и TC$ с длинами $a, b и c$ соответственно так, чтобы $∘ ∠AT B = ∠BT C = ∠CT A= 120.$

Тогда по теореме косинусов при учете соотношения $∘ 1 cos120 = −2,$ получаем, что $√ - AB = 1,BC = 3,CA = 2.$ Видим, что по теореме Пифагора треугольник $ABC$ прямоугольный $∘ (∠B = 90 ),$ причем его катет $AB$ в два раза короче гипотенузы $AC,$ откуда следует равенства $∘ ∘ ∠BAC = 60 ,∠BCA =30 .$

Отметим точку $B1$ — середину гипотенузы $AC$ и точку $C1,$ что $△ABC = △AB1C1$ и точки $C1$ и $B$ по разные стороны от $AC :$

$PIC$

По построению треугольники $ABC$ и $AB1C1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$ Отметим точку $T1$ в треугольнике $AB1C1,$ соответсвующую точке $T$ в треугольнике $ABC.$ Тогда $BT = B1T1, CT = C1T1, и AT = AT1 = TT1.$ Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник $AT T1$ получается равносторонним, поскольку точки $T$ и $T1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$

Осталось отметить, что точки $B, T, T1, C1$ лежат на одной прямой, поскольку $∠ATB = ∠AT1C1 = 120∘ и ∠ATT1 =∠AT1T = 60∘.$ В итоге получаем, что

a+ b+ c= AT + BT +CT = BT +T T1 +T1C1 = BC1,

а $BC1$ может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника $BAC1 :$

BC2 = AB2 +AC2 +AB ⋅AC = 1+ 4+1 ⋅2 =7. 1 1

Второе решение.

Вычтем из первого равенства второе. Получим $(a− c)(a+c)+ b(a− c)=− 2,$ т.е.

-−2- a +b+ c= a− c

Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим

−2 −1 3 a+ b+ c= a−-c = b−-a = c−-b

Если обозначить $s=a +b+ c,$ то можно переписать предыдущее соотношения как

a− c=− 2s−1, b− a= −s−1, c− b= 3s−1

Теперь сложим все исходные равенства:

2a2+ 2b2+ 2c2 +ab+ bc +ca= 8

(1)

Нетрудно заметить, что левую часть можно выразить следующим образом:

2 1 2 2 2 (a+ b+c) + 2((a− c)+ (b− a) + (c− b))= 8

что означает

2 1 −2 −2 −2 s + 2(4s + s + 9s )= 8

Домножением на $s2$ получаем биквадратное уравнение

s4 − 8s2+ 7=0

корнями которого являются $2 2 s = 1 и s =7.$ Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством $(1):$

2 2 2 2 2 1 1 1 s = (a+b +c) >a + b + c+ 2ab+ 2bc+ 2ca =4.

Значит, остается $s2 = 7,$ т.е. $√ - a+ b+c = 7.$

Ответ:

$√7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32158

Найдите все вещественные числа $x$ , удовлетворяющие уравнению

1- -1- 2 [x] + [2x] = {x}+ 5.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметим, что как слева, так и справа выражения принимают достаточно маленькие значения —> стоит попробовать их оценить! Правая часть оценивается легко сверху и снизу, ведь мы знаем часто помогающую оценку на {x}. Попробуйте порассматривать маленькие целые иксы, поймав момент, когда правая часть выходит из границ значений для левой части

Подсказка 2

Остаётся перебор по конкретным полуинтервалам – на них ведь мы точно знаем, чему равен [x], но вот с [2x] всё не так однозначно. Его значение зависит от дробной части: x=3,1 —> [2x]=6, x=3,6 —> [2x]=7. Так что поможет нам вновь оценка дробной части! Только более точная с учётом того, что мы знаем, в каком полуинтервале работаем. А определив [x] и [2x] мы как раз и {x} сразу найдём, откуда тут же получим сам x

Показать ответ и решение

$∙$ $x< 0$ не может быть, так как тогда $1-+ -1-<0 <{x}+ 2. [x] [2x] 5$

$∙$ $0 ≤x <1$ не может быть, так как мы делим на $[x].$

$∙$ Если $1≤x < 2,$ то $2 1- 1-- 1 1 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≥1+ 3 =13$ . Значит, $1 {x} >2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+ 2{x}$ и $2{x}≥1$ , то $[2x]= 2[x]+ 1= 3$ . Отсюда $1- 1-- 2 14- {x} = [x] + [2x] −5 = 15$ и $29- x = 15$ подходит.

$∙$ Если $2≤x < 3,$ то $2 1- 1-- 1 1 3 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≤ 2 + 4 = 4$ . Значит, $1 {x}< 2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+2{x}$ и $2{x}< 1$ , то $[2x]= 2[x]= 4$ . Отсюда $1- -1- 2 7- {x}= [x] + [2x] − 5 = 20$ и $7- 47- x= 2+ 20 = 20$ подходит.

$∙$ Если $3≤x < 4,$ то $2 1- 1-- 1 1 1 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≤ 3 + 6 = 2$ . Значит, $1 {x}< 2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+2{x}$ и $2{x}< 1$ , то $[2x]= 2[x]= 6$ . Отсюда $1 1 2 1 {x}= [x] + [2x] − 5 = 10$ и $31 x= 10$ подходит.

$∙$ Если $x≥ 4$ , то $2 1 1 1 1 3 2 {x} +5 = [x] + [2x] ≤ 4 + 8 = 8 < 5$ , невозможно в силу ${x}≥ 0.$

Ответ:

${29;47;31} 15 2010$